[原贴](https://www.acwing.com/blog/content/458/)


### 一、学习过程总结
一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**至多**是$j$的问题。

慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**恰好**是$j$的问题。例如 [$AcWing$ $1023$. 买书](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15668269.html) ，求的是恰好是$j$的**总方案数**问题。

同时还出现了状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**至少**是$j$的问题。例如 [$AcWing$ $1020$. 潜水员](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15689906.html) ，求的是总体积**至少**是$j$的**最小价值**。


### 二、求方案数初始化总结

#### 二维情况
1. **体积至多$j$** 【$01$+完全】
   $f[0][i] = 1$, $0 <= i <= m$，其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848671.html)

    
    **初始化解释**：
  用前$0$种物品，在小于$i$的空间内，方案数是$1$,表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。
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2. **体积恰好$j$** 【$01$+完全】
   $f[i][0] = 1$, 其余是$0$                [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848681.html)

   **初始化解释**:
   在前$i$种物品中选择，恰好空间为$0$的方案数，只能是啥也不选。

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3. **体积至少$j$** 【只$01$背包】
   $f[0][0] = 1$, 其余是$0$                [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848682.html)
   
   **初始化解释**:
   在前$0$种物品中选择，空间至少为$0$的方案数，只能是啥也不选

#### 一维情况
1. 体积至多$j$, $f[i] =1$, $0 <= i <= m$             [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848671.html)
2. 体积恰好$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$                   [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848681.html)
3. 体积至少$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$                   [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848682.html)


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### 三、求最大值最小值初始化总结

#### 二维情况
1. **体积至多$j$** 【$01$+完全】
   $f[i,j] = 0$，$0 <= i <= n, 0 <= j <= m$（ <font color='blue' size=4><b>只会求价值的最大值</b></font>）[示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848699.html)
   
2. **体积恰好$j$**: 
  当求价值的最小值：$f[0][0] = 0$, 其余是$INF$  [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848719.html)
  当求价值的最大值：$f[0][0] = 0$, 其余是$-INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848821.html)

3. **体积至少$j$**，$f[0][0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值）  [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848743.html)

#### 一维情况
1. 体积至多$j$，$f[i] = 0, 0 <= i <= m$（ <font color='blue' size=4><b>只会求价值的最大值</b></font>）      [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848699.html)
2. 体积恰好$j$: 【$01$+完全】
  * 当求价值的最小值：$f[0] = 0$, 其余是$INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848719.html)
  * 当求价值的最大值：$f[0] = 0$, 其余是$-INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848821.html)

3. 体积至少$j$，$f[0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值）  [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848743.html)