## [$AcWing$ $1169$ 分糖果](https://www.acwing.com/problem/content/1171/)


### 一、题目描述 
幼儿园里有 $N$ 个小朋友，老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。

但是小朋友们也有 **嫉妒心**，总是会提出一些要求，比如:小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候， 老师需要满足小朋友们的 $K$ 个要求。

幼儿园的糖果总是有限的，老师想知道他 **至少需要准备多少个糖果**，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

**输入格式**
输入的第一行是两个整数 $N,K$。

接下来 $K$ 行，表示分配糖果时需要满足的关系，每行 $3$ 个数字 $X,A,B$。

如果 $X=1$．表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须和第 $B$ 个小朋友分到的糖果一样多。
如果 $X=2$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
如果 $X=3$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
如果 $X=4$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
如果 $X=5$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
小朋友编号从 $1$ 到 $N$。

**输出格式**
输出一行，表示老师 **至少** 需要准备的糖果数，**如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 $−1$**。

**数据范围**
$1≤N<105$,
$1≤K≤105$,
$1≤X≤5$,
$1≤A,B≤N$
输入数据完全随机。

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
11
```

### 二、题目解析
本题考查 **差分约束**。

如果一个系统由$n$个变量和$m$个约束条件组成，其中每个约束条件形如$x_j-x_i<=b(i,j∈[1,n],k∈[1,m])$,则称为 **差分约束系统**。亦即，差分约束系统是 **求解关于一组变量的特殊不等式组的方法**。简而言之，差分约束就是用来 **求解一种特殊的不等式组**:<font color='red' size=4><b> 这种不等式组里面不等式的格式都是类似于$X_a <= X_b + c$这种形式。</b></font>

差分约束问题可以用求单源最短路的算法来求解，一般使用$spfa$算法求解。


#### 1.差分约束问题与最短路问题的联系
在求解 **最短路** 的算法中，核心的语句就是松弛操作，即$dist[v] > dist[u] + w[i]$，就可以更新$dist[v]$=$dist[u] + w[i]$了。在松弛某点$v$的距离的时候，会考察所有可以到达$v$的相邻点，每次从$v$的相邻点尝试去松弛$v$之后，都会有$dist[v] <= dist[u] + w[i]$，所以最终最短路径上$dist[v] = min(dist[u] + w[i])$。如果将$dist[v]$看作$X_a$，所有与之相邻的点($u_1,u_2,u_3,...$)看作$X_b$，则求完最短路径后的$\{X_a,X_b\}$的值一定满足形如$X_a <= X_b + c$的不等式组的要求，也就是说，**可以用$spfa$求最短路的过程来求解差分约束问题**。

#### 2.不等式组解的最小值与最大值
在求 **最短路** 的过程中，如果起点$s$的距离设为$0$，设从起点到某点$t$的路径上依次经过$x_1，x_2，x_3$三个点，对应的边权依次是$w_1，w_2，w_3$。则有$x_1 <= s + w_1，x_2 <= x_1 + w_2，x_3 <= x_2 + w_3$，可以推出$x_3 <= x_2 + w_3 <= x_1 + w_2 + w_3 <= s + w_1 + w_2 + w_3$，$s$在这里是定值，可以看出$x_3$的值不会超过$s + w_1 + w_2 + w_3$，也就是可以找到$x_3$的 **最大值**，但是不一定能够知道$x_3$的最小值，其他变量$x_1$，$x_2$也均有个上限，所以 **求最短路得到的解实际上是不等式组的最大解**。当然，在松弛过程中$dist[v] = min(dist[u] + w[i])$，也就是为了满足所有的约束条件，$dist[v]$实际上是取 **所有松弛结果的最小值** 的。

再来考察求最长路的过程，将求最短路的松弛条件 **倒过来** 就可以求最长路了，即$dist[v] < dist[u] + w[i]$时，就更新$dist[v]$为$dist[u] + w[i]$，最后$dist[v] = max(dist[i] + w[i])$，也就是求完最长路后$dist[v] >= dist[u] + w[i]$。

同样的如果起点$s$的距离设为$0$，设从起点到某点$t$的路径上依次经过$x_1，x_2，x_3$三个点，对应的边权依次是$w_1，w_2，w_3$。则有$x_1 >= s + w_1，x_2 >= x_1 + w_2，x_3 >= x_2 + w_3$，可以推出$x_3 >= x_2 + w_3 >= x_1 + w_2 + w_3 >= s + w_1 + w_2 + w_3$，$s$在这里是定值，可以看出$x_3$的值不会小于$s + w_1 + w_2 + w_3$，这样就求出了$x_3$的 **最小值** 了，也就是说 **最长路可以求出不等式组的最小解**。

>**注意**:
① **最短路** 算法求解的是形如$x_a <= x_b + c$这种形式的不等式
② **最长路** 算法求解的是形如$x_a >= x_b + c$这种形式的不等式


#### 3.无约束的变量与无解情况
假设图中有一点是孤立的，与其他点没有关联边，则对应差分约束问题中的变量就是不受约束的，**可以取任意值**。

再来考察无解的情况:
- **如果求最短路时存在负环**，假设负环上的点有$x_1，x_2，x_3$，则有$x_2 <= x_1 + w_1$，$x_3 <= x_2 + w_2，x_1 <= x_3 + w_3$，可以推出$x_1 <= x_3 + w_3 <= x_2 + w_2 + w_3 <= x_1 + w_1 + w_2 + w_3$，又$w_1 + w_2 + w_3 < 0$（存在负环），所以$x_1 <= x_1 + w_1 + w_2 + w_3 < x_1$得出了$x_1 < x_1$的矛盾结论了

> **小结：求最短路时存在负环,说明差分约束问题无解**

- **求最长路时如果存在正环**，设正环上的点有$x_1，x_2，x_3$，则有$x_2 >= x_1 + w_1，x_3 >= x_2 + w_2，x_1 >= x_3 + w_3$，可以推出$x_1 >= x_3 + w_3 >= x_2 + w_2 + w_3 >= x_1 + w_1 + w_2 + w_3$，又$w_1 + w_2 + w_3 > 0$（存在正环），所以$x_1 >= x_1 + w_1 + w_2 + w_3 > x_1$得出了$x_1 > x_1$的矛盾结论了。

> **小结：求最长路时存在正环,说明差分约束问题无解**


#### 4.差分约束问题的建图
下面将不等式组转化为图:

建图的过程 **深刻的反映** 了求最短路、最长路与差分约束问题的关联。比如$x_1 <= x_2 + 1$，是建一条$x_2$到$x_1$长度为$1$的边，还是建一条$x_1$到$x_2$长度为$-1$的边呢？在最短路问题中，我们需要$x_1 <= x_2 + c$这种形式的不等式，遇见$x_1 >= x_2 + 1$形式的不等式就转化为了$x_2 <= x_1 - 1$，从而建立了$x_1$到$x_2$长度为$-1$的边。而在最长路问题中，遇见$x_1 >= x_2 + 1$可以建一条$x_2$到$x_1$长度为$1$的边，遇见$x_1 <= x_2 + 1$这种形式的不等式可以转化为$x_2 >= x_1 - 1$，建立起了$x_1$到$x_2$长度为$-1$的边。从而得出了一个 **重要结论**：

>**同一个不等式在最长路和最短路问题中建图的方向是相反的，建立的边权互为相反数**

比如$x_1 <= x_2 + 1$，最短路问题是建一条$x_2$到$x_1$长度为$1$的边，而在最长路问题中则是建一条$x_1$到$x_2$长度为$-1$的边（$x_2 >= x_1 - 1$）。

其他类型的不等式：
- 对于$x_1 < x_2 + c$形式的不等式，可以转化为$x_1 <= x_2 + c - 1$形式
- 对于$x_1 = x_2$形式的不等式，可以转化为$x_1 <= x_2$和$x_2 <= x_1$两个不等式

由于建的图不一定连通，所以为了保证从起点出发一定能到达所有点，**一般会建一个超级源点**，从这个超级源点向各个点引一条长度为$0$的边，即在不等式组中加上了$x_0 <= x_1,x_0 <= x_2,...,x_0 <=x_n$这么多不等式。

#### 5.回归本题
由于每个小朋友都需要分到糖，所以某个变量都不能小于$1$，所以建图时可以由$x_0$向各点引一条长度为$1$的边，因为要求$x_1 >= 1$等价于$x_1 >= x_0 + 1,x_0 = 0$。**本题是求差分约束的最小解，所以需要求最长路**。

$spfa$算法求 **最长路时需要将距离数组初始化为负无穷**，当存在正环时存在某个点会一直被更新，所以更新超过一定次数后就说明无解。

> **坑点**：本题的$spfa$使用队列会超时，可以用数组模拟队列，或者用栈替换队列。

#### 6.答疑解惑
在$SPFA$算法中，通常使用队列（`queue`）作为广度优先搜索的数据结构来遍历图的顶点。然而，有时候将队列替换为栈（`stack`）可以提升算法的性能。

**原理如下**：当使用队列时，$SPFA$算法采用的是一种宽度优先搜索（$BFS$）的策略，每次从队列头部取出一个顶点进行处理。这会导致算法以层级的方式逐步扩展搜索范围，从而保证了找到的路径是最短路径。

相比之下，如果将队列替换为栈，$SPFA$算法就会采用深度优先搜索（$DFS$）的策略。深度优先搜索并不关心当前处理的顶点与起始点的距离，而是一直深入到无法继续深入为止，然后回溯到上一个顶点进行处理。

使用栈而不是队列的主要好处在于，深度优先搜索会更快地遍历图的分支，而不是逐层扩展搜索范围。在某些情况下，这可能会导致更早地发现最短路径，从而提高算法的性能。

然而，需要注意的是，由于深度优先搜索不保证找到的路径是最短路径，所以在使用栈替代队列时，$SPFA$算法可能会得到非最短路径的结果。因此，如果对于问题的解必须是最短路径，使用队列作为搜索数据结构是更可靠的选择。

#### 数组模拟队列版本,可以$AC$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 300010;
int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], cnt[N];
LL d[N];
bool st[N];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool spfa() {
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q[++tt] = i;
        st[i] = true;
        d[i] = 1;
    }

    while (hh <= tt) {
        int u = q[hh++];
        st[u] = false;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (d[v] < d[u] + w[i]) {
                d[v] = d[u] + w[i];
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[v] >= n) return true;
                if (!st[v]) {
                    q[++tt] = v, st[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    // 最小值最长路,i->j,dj>=di+c

    memset(h, -1, sizeof h);

    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int x, a, b;
        cin >> x >> a >> b;
        if (x == 1) add(a, b, 0), add(b, a, 0); // A=B,A>=B,B>=A
        if (x == 2) add(a, b, 1);               // A<B,B-1>=A
        if (x == 3) add(b, a, 0);               // A>=B,B->A
        if (x == 4) add(b, a, 1);               // A>B,A>=B+1,B->A
        if (x == 5) add(a, b, 0);               // A<=B,B>=A,A->B
    }

    if (spfa())
        puts("-1");
    else {
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) res += d[i];
        printf("%lld\n", res);
    }

    return 0;
}
```

#### $Queue$版本，挂了最后一个点
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 300010;
int n, m;

int cnt[N];
LL dist[N];
bool st[N];

int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool spfa() {
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dist[i] = 1;
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();

        st[u] = false;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[u] + w[i]) {
                dist[j] = dist[u] + w[i];
                cnt[j] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int x, a, b;
        cin >> x >> a >> b;
        if (x == 1) add(a, b, 0), add(b, a, 0); // A=B,A>=B,B>=A
        if (x == 2) add(a, b, 1);               // A<B,B-1>=A
        if (x == 3) add(b, a, 0);               // A>=B,B->A
        if (x == 4) add(b, a, 1);               // A>B,A>=B+1,B->A
        if (x == 5) add(a, b, 0);               // A<=B,B>=A,A->B
    }

    if (spfa())
        puts("-1");
    else {
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) res += dist[i];
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}
```

### 用栈模拟队列 ，可以$AC$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 300010;

stack<int> q; // 有时候换成栈判断环很快就能找到答案
LL dist[N];
bool st[N];
int cnt[N];
int n, m; // 表示点数和边数
// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

bool spfa() {                         // 最长路，判正环
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist); // 最长路，需要初始化为-0x3f

    // 超级源点出发
    dist[0] = 0;
    q.push(0);
    st[0] = 1;

    while (q.size()) {
        int u = q.top();
        q.pop();
        st[u] = 0;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] < dist[u] + w[i]) { // 求最长路
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                // 注意多加了超级源点,共n+1个节点，边数最多是n
                if (cnt[v] > n) return 1;
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m--) {
        int x, a, b; // X为大小关系描述
        scanf("%d %d %d", &x, &a, &b);

        // 求最小值，需要最长路，即形如： a>=b+1这样形式的式子

        // 表示第 a 个小朋友分到的糖果必须和第 b 个小朋友分到的糖果一样多
        //  a == b  =>  (a >= b , b >= a)  相等的关系，需要传入两条对称的边，即 a>=b,b>=a,边长为0
        if (x == 1) add(a, b, 0), add(b, a, 0);
        // 表示第 A 个小朋友分到的糖果必须少于第 B 个小朋友分到的糖果
        //  a<b => b > a => b >= a+1
        if (x == 2) add(a, b, 1);
        // 表示第 a 个小朋友分到的糖果必须不少于第 b 个小朋友分到的糖果
        // 不少于即大于等于 a >= b
        if (x == 3) add(b, a, 0);
        // 表示第 a 个小朋友分到的糖果必须多于第 b 个小朋友分到的糖果
        //  a>b => a >= b+1
        if (x == 4) add(b, a, 1);
        // 表示第 a 个小朋友分到的糖果必须不多于第 b 个小朋友分到的糖果。
        //  a<=b => b>=a
        if (x == 5) add(a, b, 0);
    }

    // 重点：需要自己从题意中挖掘出一个性质，即 每个小朋友都要至少一个糖果
    //  xi >= 1  => xi >= x0 + 1
    // 将所有节点与超级源点x0相连
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(0, i, 1);

    if (spfa())
        puts("-1");
    else {
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) res += dist[i]; // 累加所有最小值的和
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}
```