##[$AcWing$ $203$. 同余方程](https://www.acwing.com/problem/content/description/205/)

### 一、题目描述
求关于 $x$ 的同余方程 $ax≡1~(mod~b)$ 的 **最小正整数解**。

**输入格式**
输入只有一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。

**输出格式**
输出只有一行，包含一个正整数 $x$，表示最小正整数解。

输入数据保证一定有解。

**数据范围**
$2≤a,b≤2×10^9$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
3 10
```
**输出样例**
```cpp {.line-numbers}
7
```

><font color='red' size=4><b>样例解读：$3*7\%10=1$,此时$7$是最小正整数解</b></font>

### 二、解题思路

**线性同余方程模板题**

因为题目说一定有解。根据裴蜀定理，线性同余方程 $a*x≡b(mod~ m)$有解，当且仅当$gcd(a,m)|b$ 。



回到本题，就是 $gcd(a,b)=1$，对照通用形式$\large ax+my=b$，上面的方程对位改写为 $\large ax+by=1$

<font color='red' size=4><b>解释:

通用式 $a*x≡b(mod~ m) \Leftrightarrow ax+my=b $

本题式 $a*x≡1~(m od~b) \Leftrightarrow ax+by=1$
</b></font>

#### 扩欧解题两步走
- ① 用扩展欧几里得算法求出方程$ax+by=1$的一组解$(x_0,y_0)$
- ② 将 $x_0~mod~b$，转移到 $1\sim b$ 区间内即可


### 三、实现代码

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

signed main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    cout << (x % b + b) % b << endl;
}
```