##[$AcWing$ $1309$. 车的放置](https://www.acwing.com/problem/content/description/1311/)
### 一、题目描述
有下面这样的一个网格棋盘，$a,b,c,d$ 表示了对应边长度，也就是对应格子数。
当 $a=b=c=d=2$ 时，对应下面这样一个棋盘：
要在这个棋盘上放 $k$ 个相互不攻击的车，也就是这 $k$ 个车没有两个车在同一行，也没有两个车在同一列，问有多少种方案。
只需要输出答案 $mod$ $100003$ 后的结果。
**输入格式**
共一行，五个非负整数 $a,b,c,d,k$。
**输出格式**
包括一个正整数，为答案 $mod$ $100003$ 后的结果。
**数据范围**
$0≤a,b,c,d,k≤1000$，保证至少有一种可行方案。
**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
2 2 2 2 2
```
**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
38
```
### 二、算法分析
**样例理解**
我们可以尝试在每一个空格上放上车，然后躲开同行+同列，会发现有很多种放法，并且要注意不能重复，最后加在一起共$38$种摆放方案。
#### 1、规则的图形
题目给定的图片是不规则图形，我们可以将它分解成若干个规则图形，因为规则图形可以通过公式直接计算出来，如上图所示，对于某个规则的矩形，长度是$b$，宽度是$a$，放 $k$ 辆车（$k <= a,k<= b$），在长度是$b$行中任选$k$行进行摆放，一共有$\displaystyle C_b^k \times P_a^k$种摆放方案
> **解释**:$\displaystyle C_b^k \times P_a^k$ : 从$b$行中选择$k$行，这个很好理解，那为什么是$P_a^k$呢？如下图：
> 
#### 2、分解图形
（按照红线位置划分成两个矩形）
上半部分摆放$i$辆车，有$\displaystyle C_b^i\times P_a^i$种摆放方案
下半部分摆放$k - i$辆车，由于上半部分摆放了$i$辆车，占用的列对下半部分选择有了一定的影响，即占用的列对于下半部分是不可使用的，因此从$d$行中选$k - i$行，有$a + c - i$列可以进行摆放并摆放$k - i$辆车，因此有 $C_d^{k-i}\times P_{a+c-i}^{k-i}$ 种摆放方案。
**内部是乘法原理**，因为后面的结果会受到前面的影响。
> **乘法原理**：理解为一个事件需要经历多个步骤，每个步骤有若干选择，最终的总选择数就是各个步骤选择数的乘积。
上半部分摆放$i$辆车，整张图的摆放方案是
$$\large C_b^{i}\times P_a^i \times C_d^{k-i}\times P_{a+c-i}^{k-i}$$
### 三、实现代码
[组合数公式专题](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15010406.html)
```cpp {.line-numbers}
#include
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 2010, mod = 100003; // 因为式子中出现a+c，所以N要开两倍
int fact[N], infact[N]; // 阶乘与阶乘的逆元
// 快速幂模板
int qmi(int a, int k) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 组合数
int C(int a, int b) {
if (a < b) return 0;
return fact[a] % mod * infact[a - b] % mod * infact[b] % mod;
}
// 排列数
int P(int a, int b) {
if (a < b) return 0;
return fact[a] % mod * infact[a - b] % mod;
}
signed main() {
// 组合数公式II
// 预处理出阶乘和阶乘的逆元
fact[0] = infact[0] = 1; // 0的阶乘是1,这是人为的规定。 1/1也是1，infact[0]也是1
for (int i = 1; i < N; i++) {
fact[i] = fact[i - 1] * i % mod; // 阶乘
infact[i] = infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2) % mod; // 因为100003是质数，可以用费马小定理求出阶乘的逆元
}
int a, b, c, d, k;
cin >> a >> b >> c >> d >> k;
int res = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++) // 在上面的矩阵中，放i个，但要注意C(a,b),P(a,b)中a>=b,这里处理的也非常巧妙，
// 没有在计算时进行特判，而是在实现C函数、P函数时进行了特判，if(a