# 背包问题(一维求法)

## 求方案数

- 体积至多$j$
  - 初始：$f[i]=1$,$0<=i<=m$,其余为$0$
  - $01$背包
  -
    ```c++
       for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
    ```  
  - 完全背包
  - 
    ```c++
      for (int j = v; j <= m; j++) f[j] += f[j - v];
    ```
- 体积恰好$j$
  - 初始：$f[0]=1$,其余为$0$
  - $01$背包
  - 
    ```c++
     for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
    ```
  - 完全背包
  - 
    ```c++
     for (int j = v; j <= m; j++) f[j] += f[j - v];
    ``` 
- 体积至少$j$
  - 初始：$f[0]=1$,其余为$0$
  - $01$背包
  - 
    ```c++
     for (int j = m; j >= 0; j--)  f[j] += f[max(0, j - v)];
    ```
  - 完全背包代码
  -     
    <font color='red' size=4><b>有无穷多组方案数,不这么问</b></font>
    

## 求最大/小值

- 体积至多$j$
  - 初始：$f[i]=0，0 <= i <= m$
  - $01$背包
  - 
    ```c++
     for (int j = m; j >= v; j--)  f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    ```
  - 完全背包
  -   
    ```c++
     for (int j = v; j <= m; j++)  f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    ```
- 体积恰好$j$
  - 求最小值
    -  初始化$f[0]=0$,其它是$INF$
    -  01 背包
    -  
      ```c++
       for (int j = m; j >= v; j--) f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
      ```
    - 完全背包
    - 
      ```c++
      for (int j = v; j <= m; j++) f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
      ``` 
  - 求最大值
    -  初始化$f[0]=0$, 其余是$−INF$
    -  01背包　
    -  
      ```c++
       for (int j = m; j >= v; j--) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
      ```
    - 完全背包
    - 
      ```c++
        for (int j = v; j <= m; j++) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
      ```
- 体积至少$j$
  - 求最小值
    - 初始化$f[0]=0$, 其余是$INF$
    - 01背包　
    - 
      ```c++
        for (int j = m; j >= v; j--) f[j] = min(f[j], f[max(0, j - v)] + w);
      ```
    - 完全背包
    - 
      ```c++
         for (int j = 0; j <= m; j++) f[j] = min(f[j], f[max(0, j - v)] + w);
      ```
  - 求最大值
    - <font color='red' size=4><b>没有求最大值的</b></font>