## 【学习笔记】动态规划—斜率优化$DP$

[原文链接，致敬大神](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11210179.html)

https://www.jianshu.com/p/72387491a758
https://blog.csdn.net/tanjunming2020/article/details/126977257

### 【前言】

第一次写这么长的文章。

写完后对 **斜优** 的理解又加深了不少（$update$ $2020$.$6$.$19$: 回过头来看这句话满是讽刺啊，明明这时候连 **基本的概念** 都 **没有理清** ....）。

本文讲解较详，只要耐心读下去，相信大部分 $OIer$ 都能看懂。

**斜率优化** $dp$，顾名思义就是利用 **斜率相关性质** 对 $dp$ 进行优化。

**斜率优化** 通常可以 **由两种方式来理解** ，需要灵活地运用数学上的 **数形结合**, **线性规划** 思想。

按照正常思路列出$DP$方程后，如发现其形如$$\large dp[i]=Min/Max(dp[j]+v[j]\times w[i])$$的形式，即可使用斜率优化$DP$。（$v[j]$和$w[i]$分别表示两个关于$j$和$i$的函数）


该方程的关键点在于 $v[j] \times w[i]$ 这一项，它既有 $i$ 又有 $j$，于是 **单调队列优化** **不再适用**，可以 **尝试** 使用 **斜率优化**。


### 一.【理解方式】

以 [【模板】 玩具装箱 $toy$ [$P3195$]](https://www.luogu.com.cn/problem/P3195) 为例，两种斜优的理解方式。

设 $\large \displaystyle S[n]=\sum_{i=1}^n(C[i]+1)$，用 $dp[i]$ 表示装好前 $i$ 个的最小花费，则转移方程为：

$$\large dp[i]=min(dp[j]+(S[i]−S[j]−1−L)^2)$$

<font color='red' size=4><b>注：两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，$j+1 \sim i$的话，最后一个$i$里没有这个一个单位长度,需要减去$1$。</b></font>

为方便描述，**将 $L$ 提前加 $1$**，再把 $min$ **去掉**，得到状态转移方程:

$$\large dp[i]=dp[j]+(S[i]−S[j]−L)^2$$

化简得：
$$\large dp[i]=S[i]^2−2S[i]L+dp[j]+(S[j]+L)^2−2S[i]S[j]$$

#### 1.【代数法（数形结合）】
只含 $L$ 的项对于每一个 $i$ 的 **择优筛选** 过程都是完全一样的值，只含 $Function(i)$ 的项在一次 $i$ 的**择优筛选**过程中不变,含 $Function(j)$ 的项可能会不断变化（在本题中表现为为**严格单增**）。

我们以此为划分依据，把同类型的项用括号括起来，即：

$$\large dp[i]=(−2S[i]S[j])+(dp[j]+(S[j]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L)$$

##### (1).【维护一个凸包】

设 $j_1,j_2 (0⩽j_1<j_2<i)$ 为 $i$ 的两个决策点，且满足**决策点** $j_2$ 优于 $j_1$，

有： $$\large (−2S[i]S[j_2])+(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L)⩽(−2S[i]S[j_1])+(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L) \\
\Rightarrow \\
\large (−2S[i]S[j_2])+(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)⩽(−2S[i]S[j_1])+(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)$$

**划重点**：此处**移项**需要遵循的原则是：**参变分离**。将 $Function(i)$ 视作未知量，用 $Function(j)$ 来表示出 $Function(i)$ 。

移项得：$\large −2S[i](S[j_2]−S[j_1])⩽(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)−(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)$
$∵C[j]⩾1$
$∴S[j+1]>S[j]$
又$∵j_2>j_1$
$∴S[j2]−S[j1]>0$

$\large ∴2S[i]⩾ \frac{(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)−(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)}{S[j_2]−S[j_1]}$

设 $Y(j)=dp[j]+(S[j]+L)^2,X(j)=S[j]$
即$\large 2S[i]⩾ \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}$

显然等式右边是一个关于点 $P(j_2)$ 和 $P(j_1)$ 的斜率式，其中
$P(j)=(X(j),Y(j))=(S[j],dp[j]+(S[j]+L)^2)$

也就是说，如果存在两个决策点 $j_1,j_2$ 满足 $(0⩽j_1<j_2<i)$,使得不等式 
$$\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩽2S[i]$$成立，或者说 使得 $P(j_2),P(j_1)$ 两点所形成直线的斜率小于等于 $2S[i]$，那么决策点 $j_2$ 优于 $j_1$。


> **划重点：斜优灵活多变，细节麻烦也多，所以尽量将问题模式化。**
比如这里的最终公式，尽量化为 $ \frac{Y(j)−Y(j′)}{X(j)−X(j′)}$的形式，而不是 $\frac{(Y(j))−Y(j′)}{X(j′)−X(j)}$ ，虽然直接做一般也不会出什么问题，但这样子可以方便理解，方便判断凸包方向等等。

假设有酱紫的三个点 $P(j_1),P(j_2),P(j_3)$，$k_1,k_2$ 为斜率，如下图所示情况（三点分别为 $A,B,C$）：

<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_464656465.PNG'></center>

显然有 $k_2<k_1$。设 $k_0=2S[i]$，由上述结论可知：

> ($a$). 若 $k_1⩽k_0$，则 $j_2$ 优于 $j_1$ 。反之，若 $k_1>k_0$，则 $j_1$ 优于 $j_2$ 。
> ($b$). 若 $k_2⩽k_0$，则 $j_3$ 优于 $j_2$ 。反之，若 $k_2>k_0$，则 $j_2$ 优于 $j_3$ 。

于是这里可以分三种情况来讨论：

> (1). $k_0<k_2<k_1$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_1$ 优于 $j_2$ 优于 $j_3$。
> (2). $k_2⩽k_0<k_1$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_1$ 和 $j_3$ 均优于 $j_2$。
> (3). $k_2<k_1⩽k_0$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_3$ 优于 $j_2$ 优于 $j_1$。

可以发现，对于这三种情况，$j_2$ 始终不是最优解，于是我们可以将 $j_2$ 从**候选决策点**中踢出去（**删除**），只留下 $j_1$ 和 $j_3$，删后的情况如下图所示：

<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_456.PNG'></center>

我们要对某一个问题的解决方案进行优化改进，无非就是关注两个要点：**正确性** 和 **高效性** （很多时候 **高效性** 都体现为 **单调性** ）。

酱紫做的 **正确性** 是毋庸置疑的，因为在 $j_1$ 和 $j_3$ 其中必定有一个比 $j_2$ 更优，所以删除 $j_2$ 对答案没有任何影响。

那么高效性呢？自己在脑子里面 $yy$ 一下，在一个坐标系的第一象限中（本题中 $X(j)$ 和 $Y(j)$均大于等于 $0$，至于为什么这里要说等于，下面会提到），有若干个离散的点，任取三点，如果左边斜率大于右边斜率，则形成了上述情况，必定会 **删点** ，因而消除这种情况。所以将最后留下来的点首位相连，其形成的各个线段 **斜率** **从左到右** 必定是 **单调递增** 的（有可能非严格递增，这个问题之后再讨论）。

如果学习过计算几何相关知识，会意识到这个过程其实与求凸包算法是类似的。（顺手丢一个广告：[【学习笔记】计算几何全家桶](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102489.html)）

实际上在图中选取最靠左下面、下面、右下面的点首位相连，就是最后留下来的点了，它们形成了一个 **下凸包**，即 **凸包**（又名 **凸壳**）的下半部分（不严谨的讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的 **凸多边形**，它能包含点集中所有的点——摘自 [百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%87%B8%E5%8C%85/179150?fr=aladdin)）。

维护出的图形如下图所示：
<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_789.PNG'></center>

可以尝试在凸包围起来的区域内任意取一点，其必定能在包围圈上找到两个点使得该点可被删除。如上 $L$ 点，它与 $D,E$ 两点形成了一个 **可删点图形** 。

> 注意：图中 $C,D,E$ 故意画成了**三点一线**，而实际上点 $D$ 是可以删去的，且严格凸包不允许存在这种情况。关于去重的细节问题后面会提到。

**同理**，如果把不等式 $\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩽k_0[i]$ 改为 $\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩾k_0[i]$ ，那么维护出来的就是一个 **上凸包**。

##### (2).【寻找最优决策点】

在一次决策点的寻找中，易知 **下凸包** 点集里总会存在一点，使得它与左邻点形成的斜率小于等于 $k_0$ ，与右邻点形成的斜率大于 $k_0$ 。

例如上图中的 $E$ 点，设 $k_4⩽k_0<k_5$ 由于凸包上面的斜率呈 **单增态**，那么有：
$$\large k_1<k_2<k_3<k_4⩽k_0<k_5<k_6<k_7$$

所以决策点 $E$ 优于其他所有点，即 $E$ 就是 $dp[i]$ 的 **最优决策点**。

如果 **暴力查找** 的话，就是从第一个点开始向后扫描，找到 **第一个斜率大于 $k_0$ 的线段**，其 **左端点** 即为 **最优决策点**。由于凸包上的 **斜率依次递增**，可以 **二分** 快速得到这个点。

#### 2.【线性规划】
先回顾一下模板题的 $dp$ 方程：
$$\large dp[i]=S[i]^2−2S[i]L+dp[j]+(S[j]+L)^2−2S[i] \times S[j]$$

对其进行移项变化，变成形如 $y=kx+b$ 的点斜式。

> **划重点：移项要遵循的原则是：把含有 $function(i)∗function(j)$ 的表达式看作斜率 $k_0$ 乘以未知数 $x$，含有 $dp[i]$ 的项必须要在 $b$ 的表达式中，含有 $function(j)$ 的项必须在 $y$ 的表达式中。如果未知数 $x$ 的表达式单调递减，最好让等式两边同乘个 $−1$，使其变为单增。**

至于为什么说要让 $x$ 的表达式单增，$emm$...其实是为了让一些较简单的问题模式化，不易出错，如果你非要单减，可以尝试倒序枚举，至于是否正确，具体实现需要注意的玄学问题等等，因为觉得太麻烦没有细想，我也不清楚会遇到什么问题。

例如此题，原 $dp$ 方程可化为：
$$\large (2S[i])S[j]+(dp[i]−S[i]^2+2S[i]L)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)$$

其中 $\large k_i=2S[i], x_i=S[j], b_i=dp[i]−S[i]^2+2S[i]L, y_i=dp[j]+(S[j]+L)^2$

其实也可以化为：
$$\large (2S[i])(S[j]+L)+(dp[i]−S[i]^2)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)$$

其中 $\large k_i=2S[i], x_i=S[j]+L, b_i=dp[i]−S[i]^2, y_i=dp[j]+(S[j]+L)^2$

还可以化为 ...
...

只要满足上述移项原则，对答案是没有任何影响的。

这里以第一种形式为例，先画出草图：

<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_14564864.PNG'></center>

##### (1).【高中数学知识】
我们的目的是求出一个最优决策点 $j$ 使得 $dp[i]$ 最小，又因为 $b[i]=dp[i]−S[i]^2+2S[i]L$ ，所以就是要找到某个点使这条直线经过它时算出来的 $b$ 最小，即是高中数学课本上的线性规划问题。

#### (2).【寻找最优决策点】
<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_4684.PNG'></center>

如图所示，点 $E$ 即为 **最优决策点**。显然，这个使得 $b$ 最小的最优决策点位于下凸包点集中，且与上述代数法求得的点一致。

#### 3.【两种思考方式的结合】
强烈推荐用 **线性规划** 思想主导思考过程，因为图形的变幻较直观，更重要的是：在某某变量不满足单调性时，通过图形可以迅速做出判断并改变策略（在后面【关于单调性的研究】中会详细解释）。

而 **代数法** 通常在不便于识别方程特征时起一个转换思维方向的作用，因为有些题可能会直接出现 $\frac{Y(j)−Y(j′)}{X(j)−X(j′)}$ 的形式，需要通过一系列代数推导后再绘草图模拟决策。

### 二.【维护凸包】

实际上只要让维护的凸包方向相同，两种思考方式的代码是一模一样的。

用单调队列维护凸包点集，操作分三步走：

* (1). 进行 **择优筛选** 时，在凸包上找到 **最优决策点** $j$ 。
* (2). 用 **最优决策点** $j$ 更新 $dp[i]$ 。
* (3). 将 $i$ 作为一个决策点加入图形并更新凸包（如果点 $i$ 也是 $dp[i]$ 的决策点之一，则需要将 $(3)$ 换到最前面）。

在本题中步骤 $(3)$ 的具体操作为：判断当队尾的点与点 $i$ 形成可删点图形时，出队直至无法再删点，然后将 $i$ 加入队列。

在判断可删图形时有两种方法（以 **下凸包** 为例），一种是 `slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t],i)`，另一种是 `slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t-1],i)`，都表示出现了可以删去点 `Q[t]` 的情况（只要对边界、去重的处理足够严谨，两种写法是没有区别的）。其中 `Q` 是 **维护凸包点集** 的 **队列**。

该做法时间复杂度为 $O(nlogn)$，瓶颈在于二分寻找**最优决策点**。


### 三.【再优化】

运用 **决策单调性** 进行优化。**决策单调性** 相关基础知识见 [【学习笔记】动态规划—各种 $DP$ 优化](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11317315.html)，这里只放一下定义：

设 $j_0[i]$ 表示 $dp[i]$ 转移的 **最优决策点**，那么决策单调性可描述为 $∀i⩽i′,j_0[i]⩽j_0[i′]$。也就是说随着 $i$ 的增大，所找到的 **最优决策点是递增态**（非严格递增）。


#### (1).【决策单调性证明】

还是以 [玩具装箱](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195) 为例，来简单证一波 **决策单调性**，方法采用 **四边形不等式**。


**四边形不等式** 不知道是个啥，先去学习一下，然后继续。
2022.09.30


TODO

## (2).【单调队列】

## (3).【再证决策单调性】

# 五.【各种玄学问题】