### 一、基础知识1


$$ a^x \equiv 1 \pmod{p} $$

这句话是数论中的一个概念，表示：

1. $ a $ 和 $ p $ 是整数，且 $ p $ 是一个正整数
2. $ a^x $ 表示 $ a $ 的 $ x $ 次方
3. 当 $ a^x $ 除以 $ p $ 时，余数为 1

换句话说，$ a^x - 1 $ 能被 $ p $ 整除。




### 二、基础知识2

显然:$a^{xy}=(a^x) ^y$

比如：$2^{6}={2^2}^3$

假设 $a ^x ≡1\ (\ mod\ p)$，则有 $a^{xy}  =(a ^x) ^y ≡1 ^y ≡1\ (mod\ p)$。
> 上面这句话展示了模运算中指数运算的一个重要性质。让我们逐步理解：
已知条件：$a^x ≡ 1\ (\text{mod}\ p)$
这意味着$a^x$除以$p$的余数是1
或者说$a^x - 1$能被$p$整除
推导过程：
$a^{xy} = (a^x)^y$
由于$a^x ≡ 1\ (\text{mod}\ p)$，我们可以将其代入
$(a^x)^y ≡ 1^y\ (\text{mod}\ p)$
而$1^y = 1$，所以最终得到$a^{xy} ≡ 1\ (\text{mod}\ p)$

### 三、 原根判断算法

#### 1、原根定义
在模 `p` 的情况下，`a` 是原根当且仅当 `a` 的阶数$k$等于 `p-1`。阶数是指最小的正整数 `k` 使得：
$a^k \equiv 1 \mod p $

#### 2、核心思想
1. **分解 `p-1` 的质因数**：代码通过遍历 `2` 到 `sqrt(p-1)` 来找到 `p-1` 的所有质因数。
2. **检查阶数**：对于每个质因数 `k`，检查是否：
   $a^k \equiv 1 \mod p $
   或
   $a^{(p-1)/k} \equiv 1 \mod p$
   如果满足，说明 `a` 的阶数小于 `p-1`，因此 `a` 不是原根。

#### 3、为什么这个方法有效？
- **阶数的性质**：如果 `a` 的阶数$k$小于 `p-1`，那么$k$必须是 `p-1` 的真因数。因此，我们只需要检查 `p-1` 的所有质因数对应的幂次是否等于 1。
- **快速幂**：`qmi` 函数用于高效计算模幂，确保算法的时间复杂度在可接受范围内。