## [$AcWing$ $170$. 加成序列 【又名：加法链】](https://www.acwing.com/problem/content/172/)

### 一、题目描述
满足如下条件的序列 $X$（序列中元素被标号为 $1、2、3…m$）被称为 **加成序列** ：

$X[1]=1$
$X[m]=n$
$X[1]<X[2]<…<X[m−1]<X[m]$

对于每个 $k（2≤k≤m）$都存在两个整数 $i$ 和 $j$ $（1≤i,j≤k−1$，$i$ 和 $j$ **可相等** ），使得 $X[k]=X[i]+X[j]$

你的任务是：给定一个整数 $n$，找出符合上述条件的 **长度最小** 的 **加成序列**。

如果有多个满足要求的答案，只需要找出任意一个可行解。

**输入格式**
输入包含多组测试用例。

每组测试用例占据一行，包含一个整数 $n$。

当输入为单行的 $0$ 时，表示输入结束。

**输出格式**
对于每个测试用例，输出一个满足需求的整数序列，数字之间用空格隔开。

每个输出占一行。

**数据范围**
$1≤n≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
5
7
12
15
77
0
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
1 2 4 5
1 2 4 6 7
1 2 4 8 12
1 2 4 5 10 15
1 2 4 8 9 17 34 68 77
```

### 二、题目解析
![](https://img2022.cnblogs.com/blog/8562/202203/8562-20220310095105820-1336376857.png)

<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/2675_6d4068c17c-2.png'></center>

><font color='red' size=4><b>注：在$10$步以内搜不到结果就算无解，之所以不能使用$bfs$来解决，是因为$bfs$会使用大量的空间，会$MLE$,你可以先看一下题目对于内存的要求，比如本题：$1s/64mb$。
</b></font>

搜索规模 **很深**，但 答案深度 **很浅**，可以使用 **迭代加深** 来做

**顺序**：依次考虑序列中的每个位置　$1~ 2~ 3 ~4 ~,...$


#### 搜索框架
依次搜索序列中的每个位置$u$,枚举$i$和$j$作为分支，$a[i]$和$a[j]$的和填到$a[u]$上，然后 **递归填写下一个位置**

* **优化搜索顺序**
为了让序列中的数尽快逼近$n$，在枚举$i$和$j$时 **从大到小** 枚举

#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n;     // 终点值n
int a[N];  // 填充的每个数字，路径
int depth; // 最小长度上限

// u:当前枚举到的位置
bool dfs(int u) {
    // 如果走完最后一个位置，来到了一个尾巴哨兵面前，此时，需要检查刚刚最后填入的a[u-1]是不是等于数字n,是则找到了答案，不是，则没有找到答案
    if (u == depth + 1) return a[u - 1] == n;

    for (int i = u - 1; i; i--)   // 枚举所有的前序位置 可以优化为 for(int i = u -1 ;i > u-2;i--) 可以优化到28ms
        for (int j = i; j; j--) { // 前序填充数字中，任意两个数的和，可以重复使用同一个数字
            int s = a[i] + a[j];  // 两个数的和,这是一个可能要填充到u位置上的解

            // 可行性剪枝
            // a数组必然是一个单调上升的序列，小于等于上一个位置的数字，都是不可能的分支

            // 如果本次枚举的数字比前一个还小的话，那么肯定不是解。
            if (s <= a[u - 1]) return false; // 41ms
            if (s > n) continue;             // 超过上界的肯定不对

            a[u] = s; // 将s放入路径中
            // 在放完u之后，走到u+1的位置，那么这条路径是不是合法，不再依赖于自己，而是依赖于u+1这步的探测结果
            if (dfs(u + 1)) return true;
        }

    // 如果所有组合都尝试了一遍，依然不可以找到true的答案，那么本路径无效
    return false;
}

int main() {
    // 题目要求:第1个数字是1,最后一个是n
    a[1] = 1;

    while (cin >> n, n) { // 多组测试数据，输入为0时停止,n是指序列的终止值
        depth = 1;        // 深度从1开始
        // 迭代加深
        while (!dfs(2)) depth++; // 从第2个位置开始搜索，不断放宽depth
        // 输出搜索路径
        for (int i = 1; i <= depth; i++) printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

```
### 三、答疑解惑
```cpp {.line-numbers}
   for(int i = u -1 ;i > u-2;i--) 
   为什么可以优化成：
   for (int i = u - 1; i > u - 2; i--) 
```

**答**： $a[n]$必然由$a[n-1]+?$构成
**反证法**: 假设最优解数列中　**最后一个数**　$a[n]$ 不是由$a[n - 1]$转化而来，那么我们可以就可以去掉$a[n - 1]$得到 **序列长度更加短** 的答案，所以一定$a[n]$一定是由$a[n-1]$ 转化而来。同理，其它$a[n-1],a[n-2],...,a[2]$均同此理。(**数学归纳法**)

最终代码$Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

// 利用a[u]=a[u-1]+?进行构建的性质进行优化

int n;     // 终点值n
int a[N];  // 填充的每个数字，路径
int depth; // 最小长度上限

// u:当前枚举到的位置
bool dfs(int u) {
    // 如果走完最后一个位置，来到了一个尾巴哨兵面前，此时，需要检查刚刚最后填入的a[u-1]是不是等于数字n,是则找到了答案，不是，则没有找到答案
    if (u == depth + 1) return a[u - 1] == n;

    for (int j = u - 1; j; j--) { // 前序填充数字中，任意两个数的和，可以重复使用同一个数字
        int s = a[u - 1] + a[j];  // 两个数的和,这是一个可能要填充到u位置上的解

        // 可行性剪枝
        // a数组必然是一个单调上升的序列，小于等于上一个位置的数字，都是不可能的分支

        // 如果本次枚举的数字比前一个还小的话，那么肯定不是解。
        if (s > n) continue; // 超过上界的肯定不对

        a[u] = s; // 将s放入路径中
        // 在放完u之后，走到u+1的位置，那么这条路径是不是合法，不再依赖于自己，而是依赖于u+1这步的探测结果
        if (dfs(u + 1)) return true;
    }

    // 如果所有组合都尝试了一遍，依然不可以找到true的答案，那么本路径无效
    return false;
}

int main() {
    // 题目要求:第1个数字是1,最后一个是n
    a[1] = 1;

    while (cin >> n, n) { // 多组测试数据，输入为0时停止,n是指序列的终止值
        depth = 1;        // 深度从1开始
        // 迭代加深
        while (!dfs(2)) depth++; // 从第2个位置开始搜索，不断放宽depth
        // 输出搜索路径
        for (int i = 1; i <= depth; i++) printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}
```