## 快速幂、龟速乘总结

### 一、快速幂

求 $a^b\ mod \ p$ 的结果。

**$Code$**
```cpp {.line-numbers}
// 快速幂(不加mod)
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a;
        b >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return res;
}

// 快速幂
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return res;
}
```
**解释一下**：

假如我们需要计算$2^{10}$,正常的办法是
```cpp {.line-numbers}
   int s = 1;
   for (int i = 1; i <= 10; i++) s = s * 2;
   cout << s << endl;
```
毫无疑问，这个算法是正确的。但它执行的次数是$10$次，有没有什么办法可以优化一下运算次数呢？

**优化**

将$10$进行二进制分解$(10)_{10}=(1010)_2$
这样处理后，从后向前，借助于我们熟悉的数位分离模板，就是遍历二进制的每一位。

此时，我们发现，最左面的数字$1$，权值是$8$，第三位的数字权值是$2$

同时，$2^8*2^2=2^{10}$

为什么会有这么神奇的现象呢？其实就是因为幂运算的性质造成：
$$\large 2^{10}=2^{8+2}=2^8*2^2$$

$Q:$为啥非得拆成$8+2$,为啥不拆成$7+3$呢？
就是因为类似于 **倍增** 的办法在计算中好处理呗！

$a$在代码中的使命就是：**我不管你用不用的上，反正我每次是翻倍！**
而枚举$b$的每一个数位，就是看看这个位置上的当前$a$是不是需要乘进来！幂运算的性质成功的把幂与二进制加法结合起来了。

把倍增的思路$2,4,8,16,32,...$这样长上来的，这是因为
$2^1*2^1=2^2$
$2^2*2^2=2^4$
$2^4*2^4=2^8$
$2^8*2^8=2^{16}$
$2^{16}*2^{16}=2^{32}$
 
**模板题** : **[$P1226$ 【模板】快速幂||取余运算](https://www.luogu.com.cn/problem/P1226)**



### 二、龟速乘
求 $a*b\  mod \ p$ 的结果,$a,b,p$ 都是 $10^{18}$ 级别。

$Code$
```cpp {.line-numbers}
// 龟速乘，快速加
int qadd(int a, int b) {
    int res = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a + a) % MOD;
    }
    return res;
}
```

这东西怎么理解呢？

**举栗子吧**：

$5*6_{10}=5*(110)_2$

最右侧的$0$对就的权值是$5^1=5$      ①
右侧第二的$1$对就的权值是$5*2=10$   ② 
右侧第三的$1$对就的权值是$10*2=20$  ③

而$② ③$对应的位置上有数字$1$，有效，$①$无效
结果就是$10+20=30$