### 一、$01$背包

#### 1、状态定义
$f[i][j]$ 代表在前$i$个物品中选择，背包容量上限是$j$的情况下，可以获得的最大价值。

#### 2、状态转移
$$\large f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j - w] + v)$$

**解释**
  我们带着一个剩余容量为$j$的背包来到第$i$个物品面前
  
- ① 如果我们不选择第$i$个物品，那么我们的收益就只能在前$i-1$个物品中获取到，可以使用的空间没有变化，还是$j$,即可以从$f[i-1][j]$转移过来
  
- ② 如果我们选择了第$i$个物品，那么就会要求在走完前$i-1$个物品时，剩余的空间是$j-v$，这样才能放得下第$i$个物品，即可以从$f[i-1][j-w]+v$获取到现在的最大价值

两个选择需要$PK$选一下大王，才是最终可能获取到的最大值,即

$$\large f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w]+v)$$

#### 3、实现代码（二维）
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= w)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w] + v); // 两种情况取最大值
        }
    }

    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

#### 4、实现代码（一维）
上面的二维实现中，我们通过瞪眼大法（观察法）得知，打表时每一行的数据，都只依赖于上一行，即$f[i][?]$一定是从$f[i-1][?]$转移过来，也就再向上的其它数据行变得没有用处，我们可以重复利用，这样就可以使用滚动数组或者降维处理。但由于后面的依赖于前面的，如果是正序枚举就会造成后面使用时，前面的数据已修改造成统计错误，办法就是从后向前枚举，以保证在后面的数据处理时，前面的数据还没有修改，是上一行的数据，就正确了。

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    // 01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = m; j >= w; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```
### 二、完全背包

#### 1、状态定义
同$01$背包

#### 2、状态转移
第$i$个物品，我们可以选择，也可以放弃，放弃了自然就是$f[i−1][j]$,这个没什么好讲。
如果我们选择了$i$物品，肯定要带上它的价值$v$,而承担它的重量$w$,
完成了选择它以后，我们接下来可以在前多少个物品中选呢？其实，还是$i$个，因为每种物品的数量无限啊！所以，选完了$i$,剩余的表示还是:$f[i][j−w]$。

$$\large f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w]+v)$$

#### 3、实现代码（二维）
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= w)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - w] + v);
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

#### 4、实现代码（一维）
再用二维降一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

// 完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        for (int j = w; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```

### 三、练习题

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/3313c9bfecc7482b8d3e60a52928039b.jpg)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/242f1dbabd8057cc4b1a3b2892538af0.jpg)


### 四、进阶【二维费用完全背包】


**[前导知识  $AcWing$ $8$. 二维费用的背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/8/)**

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/4382f55a587b9e5cb251e767fb6ef4cf.png)

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

// https://blog.csdn.net/gnn8291/article/details/90632100

using namespace std;
int W; // 可以提起 W单位重量的东西，
int V; // 有一个能装V个单位体积的购物袋
int n; // 为商品种类数

// 注意多维限制的01背包，一般N值都比较小，100左右，太大就会编译出错了。
const int N = 110;

// 某种商品的重量、体积和让利金额
int a[N], b[N], c[N];

// DP数组
int f[N][N][N];

/**
10 9 4
8 3 6
5 4 5
3 7 7
4 5 4

答案:
9
2 4
*/

int main() {
    // 输入
    cin >> W >> V >> n;
    // 每一种商品的重量、体积和让利金额
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];

    // 遍历每个种类
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= W; j++) {                       // 遍历重量
            for (int k = 1; k <= V; k++) {                   // 遍历体积
                int x = f[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + c[i]; // 如果选了，结果是x
                int y = f[i - 1][j][k];                      // 如果不选，结果是y
                // 如果剩余的重量和体积都够用的时候,尝试拿当前物品
                if (j >= a[i] && k >= b[i])
                    f[i][j][k] = max(x, y); // 也是两个分支，一是不选，另一个是选，要取最大值
                else
                    f[i][j][k] = y; // 装不下，不管是哪种原因装不下，都是这个分支
            }
        }
    }
    // 输出
    cout << f[n][W][V] << endl; // 小惠能够得到的最大让利金额　
    return 0;
}

```

带路径
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int W; // 可以提起 w 单位重量的东西，
int V; // 有一个能装v个单位体积的购物袋
int n; // 为商品种类数

// 注意多维限制的01背包，一般N值都比较小，100左右，太大就会编译出错了。
const int N = 110;

// 某种商品的重量、体积和让利金额
int a[N], b[N], c[N];

// 在取得最大让利金额的时候，到底是拿了哪些商品？
string s[N][N][N];

// DP数组
int f[N][N][N];

/**
10 9 4
8 3 6
5 4 5
3 7 7
4 5 4

答案:
9
2 4
*/

int main() {
    // 输入
    cin >> W >> V >> n;

    // 每一种商品的重量、体积和让利金额
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];

    // 遍历每个种类
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 遍历重量(填表)
        for (int j = 1; j <= W; j++) {
            // 遍历体积(填表)
            for (int k = 1; k <= V; k++) {
                int x = f[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + c[i];
                int y = f[i - 1][j][k];

                // 如果剩余的重量和体积都够用的时候,尝试拿当前物品
                if (j >= a[i] && k >= b[i]) {
                    // 也是两个分支，一是不选，另一个是选，要取最大值
                    if (x > y) { // 要上合适
                        f[i][j][k] = x;
                        // 同时记录拿了这个物品
                        s[i][j][k] = s[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + " " + (char)(i + '0');
                    } else // 不要合适
                        f[i][j][k] = y;
                } else { // 装不下，不管是哪种原因装不下，都是这个分支
                    f[i][j][k] = y;
                    // 同时记录不拿当前物品,保持和之前一样的物品列表
                    s[i][j][k] = s[i - 1][j][k];
                }
            }
        }
    }
    // 输出
    cout << f[n][W][V] << endl; // 小惠能够得到的最大让利金额
    string str = s[n][W][V];    // 依次为从小到大排列的商品序号
    cout << str.substr(1, str.size() - 1);
    return 0;
}

```