## 【总结】动态规划的具体路径输出

### 一、解决的问题
在取得了动态规划的极值或最优解之后，要求输出具体的路径。

###　二、解决思路
反向查找转移路径，从最后状态出发，检查所有前序状态，看看是从哪个状态转移过来的，一直到出发点为止。

$dfs$法，路径是反的，需要倒序输出。

倒序循环法，没有这个问题，可以正序输出。

### 三、$dfs$后序输出法<font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
**致敬墨染空大神**
<font color='red' size=4><b>优点：代码短，好理解，充分利用了递归的堆栈完成了倒序输出。</b></font>

```c++
void out(int i, int j) {
    if (i == 0) return; //走出界就完事了
    int k = path[i][j];
    out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
    printf("%d %d\n", i, k);
}

//　调用示例：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &w[j]);

        for (int j = m; j; j--)
            for (int k = 1; k <= j; k++) {
                int val = f[j - k] + w[k];
                if (val > f[j]) {
                    f[j] = val;
                    //在状态转移时，记录路径
                    path[i][j] = k;
                }
            }
    }
    //输出结果
    printf("%d\n", f[m]);
    //输出路径
    out(n, m);
```

### 四、倒序循环法 
```c++    
int j = m;                       // j开始枚举每个可用空间
for (int i = n; i >= 1; i--)     // 倒序遍历dp数组
    for (int k = 0; k <= j; k++) // f[i][j]是从哪个前序状态f[i-1][?]转移而来
        if (f[i][j] == f[i - 1][j - k] + w[i][k]) {
            path[i] = k; //记录路径
            j -= k;      //减少体积
            break;       //找到一组即可
        }
//输出路径
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d\n", i, path[i]);
```

### 五、普通$dfs$法
```c++
//反向查找转移路径:dfs法
int path[N], idx, id;
void dfs(int i, int j) {
    if (i == 0) return;
    for (int k = 0; k <= j; k++) {
        if (f[i - 1][j - k] + w[i][k] == f[i][j]) {
            path[++idx] = k;
            dfs(i - 1, j - k);
            return;
        }
    }
}

//调用
dfs(n, m);
for (int i = idx; i; i--) printf("%d %d \n", ++id, path[i]);
```