## 单调队列优化DP问题总结

本节二刷用了五天的时间，真是相当于困在这里，这一节的思想很简单，但细节很多，不好理解（~~主要是因为笨~~）,现把自己的领悟写一下，给后来者一些启示，水平有限，错误在所难免，勿喷！

### 一、$DP$优化的步骤
先不要考虑优化，先把$DP$模型搞清楚，**写出基础代码，$TLE$后再考虑如何优化**，用什么优先，这才是学习的正道，不能是上来就眉毛胡子一把抓，能学懂才是见了鬼了！本节六道题我全部采用了此策略，每篇题解中也是提供了基础的$DP$代码，然后再利用单调队列进行优化。不会走就想着跑，肯定不行，以后的学习中要注意这个策略。

### 二、状态表示的确定
这个东西，$yxc$大佬说主要靠经验，想想也是，如果我没有做过**烽火传递**这道题，天知道为什么要设置$f[i]$为前$i-1$个合法，第$i$个为选中状态的表示？
而且这么表示后，还需要遍历一次尾巴上的$i \sim i-m$个才能找出答案，反正让我直接想我想不出来，学习了之后，再看后面的那道绿色通道，一下子就明白该怎么样进行状态定义了，这就是**经验**。经验靠什么来呢？当然是题量，**经典题的题量**，没有大量的经典题刷题，是不可能建立自己的知识图的，如果想学习，还想双减，那是不可能学会的。

### 三、单调队列之哨兵

在单调队列中使用哨兵，主要是在第$1$个枚举到的数，它依赖的滑动窗口此时为空，无法获取到$head$,那么此时的处理逻辑是什么样呢？

一般来讲从两个方面来考虑：

*  是不是窗口长度越界，需要出队首元素？
```c++
while (hh <= tt && q[hh] < i - m) hh++; 
```

这种情况下，由于是第$1$个枚举到的数，肯定不可能窗口长度越界，如果按上面的写法，`hh=0 tt=-1`,此时`hh>tt`，所以`while`不执行，直接短路运算，没机会讨论`q[hh]`是否小于`i-m`，这里是安全的。

但有的写法，这里是这样的
```c++
if(q[hh] < i-m) hh++;  

```

此时，没有了`hh<=tt`的保护，这里队列中还没有元素，但是却访问`q[hh]`是否小于`i-m`，这就是在物理意义上有问题了！此处我的建议是不管有用没用，统一使用：
```c++
while (hh <= tt && q[hh] < i - m) hh++; 

```
这么写没毛病，别手懒！

*  使用队列头
```c++
res = max(res, s[i] - s[q[hh]]);

```
此时如果没有哨兵，同样存在着无法直接访问使用`q[hh]`的问题，**造成代码逻辑上出错**。

在使用哨兵前，我们要思考如果要虚拟出一个哨兵，它要解决什么问题？

(1)队列天生不是空的，随时可以取队列头

(2)第$1$个数字的运算逻辑和其它数字没有区别，不用特殊判断

**总结**
（1）增加哨兵能简单的解决边界问题
（2）依赖于前序关系的需要加哨兵，不依赖前序关系的可以加哨兵，也可以不加哨兵
（3）如果想要加哨兵，需要遵照下面的原则
> 如果是逆时针,正序遍历，那么添加的哨兵应该是第$0$个，$q[++tt]=0$
> 如果是顺时针,倒序遍历，那么添加的哨兵应该是第$n+1$个，$q[++tt]=n+1$


[AcWing 154. 滑动窗口](https://www.acwing.com/problem/content/156/)
```c++
  int hh = 0, tt = -1;
  q[++tt]=0;
  
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      while (hh <= tt && i + 1 - k > q[hh]) hh++;
      while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--;
      q[++tt] = i;
      if (i >= k) printf("%d ", a[q[hh]]);
  }
```
此题，枚举到的$i$号元素，**不依赖于前序进行推导计算**，直接输出前序即可，**加不加哨兵都是一样**的。


[AcWing 135. 最大子序和](https://www.acwing.com/problem/content/137/)
 ```c++
    int hh = 0, tt = -1;
    q[++tt] = 0;    //放入哨兵结点
    int res = -INF; //预求最大，先设最小
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (hh <= tt && q[hh] < i - m) hh++;
        res = max(res, s[i] - s[q[hh]]);
        while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
```
此题，枚举到的$i$号元素，**依赖前序进行推导计算**，**需要加哨兵**，并且**窗口中不包含$i$,在$i$加入窗口之前进行计算**。


[AcWing 1087. 修剪草坪](https://www.acwing.com/problem/content/description/1089/)
```c++
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      while (hh <= tt && i - q[hh] > m) hh++;
      f[i] = max(f[i - 1], f[max(0, q[hh] - 1)] + s[i] - s[q[hh]]);
      while (hh <= tt && f[i - 1] - s[i] >= f[max(0, q[tt] - 1)] - s[q[tt]]) tt--;
      q[++tt] = i;
  }
```
此题，枚举到的$i$号元素，**依赖前序进行推导计算**，**需要加哨兵**，并且**窗口中不包含$i$,在$i$加入窗口之前进行计算**。