## 【算法题】最大矩形面积，单调栈解法

柱状图中最大的矩形
给定 $n$ 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 $1$ 。
求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1a4a10ab86dfc7436e040e1c76d677e5.jpeg#pic_center'></center>

题意很简单，翻译一下就是：求该图中最大矩形的面积。

那么，这道题的思路就是遍历。不过如何高效遍历是一个学问。


### 一、暴力法

**先上暴力法，一切美好都从暴力开始**

$Code$

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10000010;

int a[N];
int res;
/*
测试样例I
6
3 2 1 4 5 2

输出:
8

测试样例II
5
2 4 3 4 5

输出:
12
*/
int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int width = 1;
        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (a[j] < a[i]) break;
            width++;
        }

        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (a[j] < a[i]) break;
            width++;
        }
        res = max(res, width * a[i]);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}
```

很明显，暴力的算法在特定给定数据的情况下是效率是$O(N^2)$的，比如共$1e7$个数据，每个数据的高度都是$100$,那么，遍历到每个柱子时，都需要向左+向右共检查$1e7-1$个柱子,也就是一个完整的双重循环，需要计算$1e14$次，$C++$一秒的计算大约是$1e8$,肯定要超时。当然，一般的普通数据，用暴力来求解还是没有问题的，可以在考场中骗一半左右的分数。

### 二、单调栈优化

#### 1、什么是单调栈
- 本质就是一个栈
- 单调上升或单调下降，比如$1 \ 2 \ 3 \ 4,$或者$4 \ 3 \ 2 \ 1$

#### 2、生成逻辑
以单调上升栈为例进行说明：
   
- ① 单调栈内保存的是 **序号**，<font color='red' size=4><b>不是数值，不是数值，不是数值</b></font>,是用序号去找的数值!
- ② 遇到新元素，如果栈为空，则直接入栈
- ③ 遇到新元素，如果栈不空，并且新元素比栈顶元素大，则直接入栈
- ④ 遇到新元素，如果栈不空，并且新元素比栈顶元素小，则栈顶元素出栈，重复步骤④,直到遇到场景②或③,完成入栈
- ⑤ 最终形成一个单调上升的序列(单调上升指的是数值单调上升)

#### 3、模拟求解过程

<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/a82963f167ab48bca9578d0a205c591a.png#pic_center'></center>

<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/7b28b564d0f84777ba1395ab40a8ad16.png#pic_center'></center>


<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/e4695f5089034a0da020949682774993.png'></center>

以该矩形为例
以$2$为高的最大矩形是 $2 * 4 = 4$；
以$3$为高的最大矩形是$3 * 3 = 9$；
以$4$为高的最大矩形是$4 * 2 = 8$；
以$5$为高的最大矩形是$5 * 1 = 1$；

那么有人要问了，有聪明的小脑袋们要问了，哎呀。
实际上某些矩形中间还有矩形，并不是真正的递序列，会不会产生影响捏？

<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/0144b085b8ed47cc950bba71114f1ca5.png'></center>

如果原图为这样，那么出栈之后维护的递增图与上图对应。由于中间的$4$大于$3$也大于$2$，所以，中间的矩形应该是最大的，可以把$4$当成$3$即可。 **我们可以以出栈为契机**，计算矩形的面积

**语言描述**：
1、 栈中为空栈，将矩形$0$入栈。 此时栈中矩形为：$0$
2、 矩形$1$的高为$4$，大于栈顶元素$2$，将矩形$1$入栈，此时栈中矩形为 $0 ，1$
3、 矩形$2$的高为$3$，$3$小于栈顶元素的高$4$，所以将栈顶矩形$1$出栈，同时计算矩形$1$高的最大
矩形，为 $4 * 1 = 4$；同时将$3$入栈，此时栈中矩形为： $0， 2$
4、 因为矩形$3$的高大于栈顶矩形$2$的高，所以将矩形$3$入栈，此时栈中矩形为： $0， 2，3$
5、 因为矩形$4$的高大于栈顶矩形$3$的高，所以将矩形$4$入栈，此时栈中矩形为： $0， 2，3，4$
6、 此时所有的元素已经入栈完毕，且栈中元素为地址矩形，**依次出栈计算所有值即可**。

#### 4、深入理解

**$Q$:为什么单调栈的求解过程是正确的呢？**
其实单调栈并不是什么天外飞仙，不是什么牛哄哄，我们可以通过先暴力后优化的思路来思考它是怎么工作的：

**暴力算法**:
1、枚举每个柱子
2、针对每个柱子，向左找到第一个比自己小的，向右找到第一个比自己小的，两个位置之间的长度就是以自己为根据地最大矩形的宽度，再乘上自己的高度，就得到的以自己为根据地的最大矩形。

**单调栈优化**
1、该枚举还是得枚举，不枚举是不可能的，第一层循环不能省。
2、那就只能考虑省第二层循环了，需要把第二层循环干掉。
3、怎么干掉呢？思考一下它这是在干什么：向左找出第一个比自己小的柱子位置，向右找出第一个比自己小的柱子位置。
4、联想一下单调栈的处理逻辑，先思考一下向右的情况：
  - 当遇到的新元素比栈顶元素大时，就直接加入栈，此时表示栈内的旧元素还没有找到比自己小的柱子。
  - 当遇到的新元素比栈顶元素小时，旧的元素要出栈了！为什么要出栈呢？是因为它已经找到了右边第一个比它小的位置，它的目标实现了，不出栈还等着上菜吗？

5、现在我们整明白了向右是怎么探测第一个比自己小的元素的，那么左边我也没看到它处理啊，为什么左边也能正确的找到位置呢？
6、我们要理解清楚，栈里放的是序号，是序号，序号，不是柱子高度！然后再来进行思考：
当某个柱子出栈后，那么现在栈顶的元素是哪个呢？当然是左侧第一个比自己小的啊！$OK$,完美啊！一个单调栈的数据结构，一次出栈就把向左找比自己小，向右找比自己小的全部搞定！而且是一路走来动态维护，方便又快捷！
7、最后一个问题：那如果最终形成了类似于$1,2,3,4$这样的单调上升的栈内情况，它们不是还得出栈吗？要不它们不是还没有找到自己负责的最大矩形吗？

是的，它们最终不在呆在栈内，也是要出栈的。但是问题是它们后面已经没有新元素加入了，不是死在里面了吗？嗯，此时 **哨兵** 的伟大思想放光芒！我们在最后虚拟的加入一个高度为$0$的哨兵，前面不管多高都会比它高，也就是它们都会遇到一个比自己小的数字! 加入后面的哨兵后，就把所有逻辑统一了，也就都会出栈了。


#### 5、$Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10000010;

int a[N];
int res;
/*
测试样例I
6
3 2 1 4 5 2

输出:
8

测试样例II
5
2 4 3 4 5

输出:
12
*/
int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    stack<int> stk;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {                   // 注意：这里是0~n,其实数组中有效数据是0~n-1,之所以最后要多枚举一个n,是因为栈内可能存在一直找不到右手边比自己小的数据，最后补一个0，让它们都出栈
        while (stk.size() && a[i] <= a[stk.top()]) { // 栈不为空，并且，当前柱子高度小于栈顶柱子高度,此时，栈顶柱子找到了右手边的最远距离
            int height = a[stk.top()];               // 栈顶柱子高度
            stk.pop();                               // 栈顶柱子出栈
            int width = (stk.size() == 0 ? i : i - 1 - stk.top());
            res = max(res, height * width);
        }
        stk.push(i);
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}
```

#### 6、总结
经典代码就是经典，这个单调栈的数据结构，如果你原来没有学过，我就不相信你能在考场上现场做出这道题，像学习外语一下学习算法这句话不是白说的，大家一定要注意 **厚积薄发**!

<font color='red' size=4><b>金鳞岂是池中物，一遇风云便化龙。</b></font>

做好准备，等待蜕变吧。