### 裴蜀定理(贝祖定理)

**定理**
$ax+by=c,x∈Z^+,y∈Z^+$成立的<font color='red'>充要条件</font>是$gcd(a,b)|c$。
 
**证明**

* 充分性
设$s=gcd(a,b)$，显然$s|a$，并且$s|b$
因为$x,y∈Z^+$
所以$s|ax,s|by$
显然要使得之前的式子成立，则必须满足$c$是$a$和$b$的公约数的倍数。
    
* 必要性
又因为$x$和$y$是正整数
所以$c$必然是$a,b$最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立

 

说明
该定理完全可以推广到若干数的线性组合

例题的话，请看这里：[$Luogu$ $4549$ 裴蜀定理/Min](https://www.luogu.com.cn/problem/P4549)