#　【学习笔记】动态规划—各种 $DP$ 优化

[原文链接，致敬大神](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11317315.html)

## 【大前言】

个人认为贪心，$dp$ 是最难的，每次遇到题完全不知道该怎么办，看了题解后又瞬间恍然大悟（TAT）。这篇文章也是花了我差不多一个月时间才全部完成。

## 【进入正题】
用动态规划解决问题具有 **空间耗费大**、 **时间效率高** 的特点，但也会有时间效率不能满足要求的时候，如果算法有可以优化的余地，就可以考虑时间效率的优化。

## 【$DP$ 时间复杂度的分析】

$DP$ 高时间效率的关键在于它减少了 **冗余** ，即不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。而动态规划就是在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少 **冗余** 

但是，一个动态规划问题很难做到完全消除 **冗余**

下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：

### 时间复杂度 = 状态总数 × 每个状态转移的状态数 × 每次状态转移的时间


## 【$DP$ 优化思路】

### 一：减少状态总数
(1). 改进状态表示

(2). 选择适当的规划方向

### 二：减少每个状态转移的状态数

(1). 四边形不等式和决策的单调性

(2). 决策量的优化

(3). 合理组织状态

(4). 细化状态转移

### 三：减少状态转移的时间

(1). 减少决策时间

(2). 减少计算递推式的时间

（上述内容摘自 《动态规划算法的优化技巧》毛子青 ，想要深入了解其思想的可以去看看这篇写得 **超级好** 的论文。）

看到这里是不是已经感觉有点蒙了呢？
本蒟蒻总结了一个简化版本：

## 【$DP$ 三要点】

在推导 $dp$ 方程时，我们时常会感到毫无头绪，而实际上 $dp$ 方程也是有迹可循的，总的来说，需要关注两个要点：**状态**，**决策和转移**。其中  **状态最为关键**， **决策最为复杂**。

### 【状态】
关于 **状态** 的优化可以从很多角度出发，思维难度极其高，有时候状态选择的好坏会直接导致出现 **爆零** 和 **满分** 的分化。

### 【决策】

与 **状态** 不同，**决策** 优化则有着大量模板化的东西，在各大书籍，文章上你都可以看到这样的话：只要是形如 $XXX$ 的状态转移方程，都可以用 $XXX$ 进行优化。

### 【转移】

**转移** 则指由最优决策点得到答案的转移过程，其复杂度一般较低，通常可以忽略，但有时也需要特别注意并作优化。

本文将会重点针对 **决策** 优化部分作一些总结，记录自己的感悟和理解。

$$QAQ$$

# 一：【矩阵优化 $DP$】

$updata$  之后由于篇幅过大，已搬出。。。。。

[【学习笔记】动态规划—矩阵递推加速](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11594147.html)

TODO　挖坑待填 

补充：其实质是优化 **转移**。

$$QAQ$$

# 二：【数据结构优化 $DP$】

## 【前言】

在一些 $dp$ 方程的状态转移过程中，我们通常需要在某个范围内进行择优，选出最佳决策点，这往往可以作为 $dp$ 优化的突破口。

数据结构的使用较灵活，没有一个特定的模板，需要根据具体情况而定，选择合适的方案。由于状态转移总是伴随着 **区间查询最值**，**区间求和** 等操作，即 **动态区间操作**，所以 **平衡树** 可以作为一个有用的工具，但考虑到代码复杂度，使用 **树状数组** 或者 **线段树** 将会是一个不错的选择。

其实质是优化 **决策**。

## 1.【维护合适的信息】

以 [$The$ $Battle$ $of$ $Chibi$ [$UVA12983$]](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA12983) 为例，大概题意就是计算在给定的序列中严格单调递增子序列的数量，并对 $1e9+7$ 取模，给定序列长度小于等于 $1000$ 。

方程应该是比较好推的，用 $dp[i][j]$ 表示由序列中在 $j$ 之前的数构成并以 $a[j]$ 结尾的子序列中，长度为 $i$ 的子序列的数量。则：
$$\large dp[i][j]=\sum dp[i−1][k]$$ ，其中 $k<j$ 且 $a[k]<a[j]$ 。

> $Q:$状态用一维表示行不行？
$A$:如果是一维表示，那么就是表示由序列中在 $j$ 之前的数构成并以 $a[j]$ 结尾的子序列的数量。这时考虑一下状态转移，看看它的前序状态是怎么样转移过来的：枚举它前面所有的数字，$a[k]<a[j]$,这样不行吗？
> 不行，比如$1~ 2~ 2~ 2~ 6 ~ 3~ 3~ 4$,因为存在重复数字$2$,会造成统计重复，无法去重。
> 办法就是增加一个维度，还要记录以$k$结尾时的子序列长度，就解决了去重的问题。

对于决策点 $dp[i−1][k]$ 这里出现了 $3$ 个信息：
1. 在原序列中的位置 $k<j$ 。
2. $a[k]<a[j]$ 。
3. $dp[i−1][k]$ 的和。