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第一步：先求与直线相交交点的范围
\left\{\begin{matrix}
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} & \\
y=ax^2-x+1 &
\end{matrix}\right.
即\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=ax^2-x+1
ax^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0
\because 有两个交点
\therefore \triangle>0
即\frac{9}{4}-2a>0
\therefore a<\frac{9}{8}
第二步：与线段$AB$交点范围
a>0开口向上，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是大于直线方程上的0,1即 $$ \large \left{\begin{matrix} a+1+1>=0& \ a-1+1>=1& \end{matrix}\right.解得$\frac{9}{8}>a>=1$a<0开口向下，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是小于直线方程上的0,1即 $$ \large \left{\begin{matrix} a+1+1<=0& \ a-1+1<=1& \end{matrix}\right.解得$a<=-2$ 所以答案是两部分$\frac{9}{8}>a>=1$或$a<=-2$