python/数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【铅垂法】.md

题目解析

第一问比较简单，说是用 待定系数法，将已知点坐标代入到二次函数方程和直线方程，然后联立方程组求解即可：

\large \left\{\begin{matrix}
0=-1-b+c & \\ 
3=-4+2b+c & 
\end{matrix}\right.

\therefore b=2,c=3 即抛物线方程y=-x^2+2x+3

直线方程y=kx+b

\large \left\{\begin{matrix}
0=-k+b & \\ 
3=2k+b & 
\end{matrix}\right.

\therefore b=1,k=1 直线方程就是y=x+1

直接求出$D$点坐标

直接利用 顶点坐标公式:

\large \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{b}{2a} & \\ 
y=\frac{4ac-b^2}{4a} & 
\end{matrix}\right.

将$a,b$代入即可求出 x=1,y=4

重点是第$2$问

在抛物线上的动点求面积最大值，使用的办法是 铅垂法

就是由动点$P$向$x$轴引出一条平行于$y$轴的垂线，与直线$AC$相交，设交点为M

\therefore S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PAM}+S_{\triangle PMC}

• $P$的坐标是设未知数x=m,然后通过二次函数获取到的y=-m^2+2m+3
• $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得y=m+1

S=\frac{1}{2} PM * (C横坐标 -A横坐标) =\frac{1}{2}(-m^2+2m+3-m-1)*(2-(-1)) =(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+1)*3 =-\frac{3}{2}(m^2-m-2) =-\frac{3}{2}(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8} 配方法 $\therefore m=\frac{1}{2}$时，$S$最大，最大值是\frac{27}{8}

最后不要忘记检验，因为题目中说了，动点$P$是在$AC$上方的，所以$M$需要在$-1,2$之间。现在$m=\frac{1}{2}$是在$(-1,2)$之间的，符合要求，答案就是\frac{27}{8}