python/数学课程/【存在性问题.】直角三角形.md

(1) 将三个点代入二次函数，得到一个二元一次方程组，求解即可求出b,c

\large \left\{\begin{matrix}
0=-1-b+c & \\ 
3=-4+2b+c & \\
\end{matrix}\right.

\therefore a=-1,b=2,c=3,方程：y=-x^2+2x+3 交$y$轴于点C,则x=0,y=3 \therefore C坐标(0,3) $D$点坐标可求: x_d=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1,y_d=\frac{4ac-b^2}{4a}=4

$AB$的直线方程也很好求： y=kx+b

\large \left\{\begin{matrix}
 0=-k+b& \\ 
 3=2k+b& 
\end{matrix}\right.

\therefore k=1,b=1,y=x+1

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重点是第二问

由于没有说明$A,C,M$哪个顶点是直角顶点，需要分类讨论：

• $A$是直角顶点 此时，过$A$点引$AC$的垂线
• $C$是直角顶点 此时，过$C$点引$AC$的垂线
• $M$是直角顶点 此时，以$AC$为直径画圆，此圆与$y$轴有两个交点

几何法

1. $AM_1$需要做相似三角形，通过比例关系来求解 \triangle AM_1F \sim \triangle CEA \frac{CE}{AF}=\frac{AE}{M_1F} 1/m=3/2 \Rightarrow m=\frac{2}{3} \therefore M1(1,-\frac{2}{3})
2. 

代数法

• 当$A$为直角顶点时： AC^2+AM^2=CM^2 10+t^2+4=t^2-6t+10 t=-\frac{2}{3} \therefore M(1,-\frac{2}{3})

• 当$C$为直角顶点时： AC^2+CM^2=AM^2 10+t^2-6t+10=t^2+4 t=\frac{8}{3} \therefore M(1,\frac{8}{3})

• 当$M$为直角顶点时： AC^2=AM^2+CM^2 10=t^2+4+t^2-6t+10 t^2-3t+2=0 t=2,t=1 \therefore M(1,2) 或 M(1,1)