python/数学课程/【存在性问题.】等腰三角形.md

(1) 将三个点代入方程，求解方程组

\large \left\{\begin{matrix}
0=a(-1)^2-b+c & \\ 
0=9a+3b+c & \\
c=-3 
\end{matrix}\right.

整理:

\large \left\{\begin{matrix}
a-b-3=0 & \\ 
3a+b-1=0 & \\
c=-3 
\end{matrix}\right.

$$ \Rightarrow
\large \left{\begin{matrix} a=1& \ b=-2& \ c=-3 \end{matrix}\right.

即$y=x^2-2x-3$

顶点$D$的坐标,根据顶点坐标公式：

\large \left{\begin{matrix} x=-\frac{b}{2a} & \ y=\frac{4ac-b^2}{4a} & \end{matrix}\right.

$$ \Rightarrow  
\large \left\{\begin{matrix}
x=1 & \\ 
y=-4 & 
\end{matrix}\right.

---

重点是第二问：

因为是等腰三角形的情况共三种，需要分情况讨论：

• AD=AP 在以$A$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
• AD=DP 在以$D$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
• AP=DP 在$AD$垂直平分线与对称轴的交点上

有两种方法，几何法和代数法，分别来计算一下：

几何法

• AD=AP 时，$P$点坐标就是$D$关于$X$轴的对称点，P(1,4)
• AD=DP 时，利用勾股定理，可以求解$AD$长度，也就是$DP$长度=\sqrt{(-1-1)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5},$P_2=({-1,2\sqrt{5}-4})$

注意 这里非常容易丢失一组解！也可能是以$D$为圆心的圆与对称轴的下方交点! 即P_3=(-4-2\sqrt{5})

垂直平分线的交点: 此时AP=PD 设 上面一小段为m (4-m)^2=m^2+2^2 \Rightarrow 16-8m+m^2=m^2+4 m=\frac{3}{2}

P_4(1,-\frac{3}{2})

代数法

• 表示点 A(-1,0),D(1,-4),P(1,t)

• 表示边 利用两点间距离公式 \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} 分别计算AD^2,AP^2,DP^2,就可以免去开根号了

• 列方程求解 AD^2=4+16=20 AP^2=4+t^2 DP^2=(t+4)^2

  三个方程式分别联立成三个方程组：

  
  \large \left\{\begin{matrix}
  4+t^2=20 & ① \\ 
  4+t^2=t^2+8t+16 & ② \\
  (t+4)^2=20  & ③
  \end{matrix}\right.
  

  ① t=4 (根据题意舍掉-4) ② t=-\frac{3}{2} ③ t=\pm2\sqrt{5}-4