3.0 KiB
一、题目描述
大家都知道 Fibonacci 数列吧，$f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,…,f_n=f_{n−1}+f_{n−2}$。
现在问题很简单，输入 n 和 $m$，求 f_n 的前 n 项和 $S_n \ mod \ m$。
输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 $m$。
输出格式
输出前 n 项和 S_n\ mod\ m 的值。
数据范围
1≤n≤2000000000,1≤m≤1000000010
输入样例：
5 1000
输出样例：
12
二、解题思路
普通的迭代法，是线性的，$n$的上限是2e9,循环的话会超时，需要想其它办法。
矩阵快速幂
$$\large \begin{bmatrix} s_n & f_{n+1}& f_n \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a&b &c \ d&e & f \ h&i & j \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{n+1} & f_{n+2}& f_{n+1} \end{bmatrix}$$
$\therefore \
s_{n+1}= s_n \times a+f_{n+1} \times d+f_n \times h \
f_{n+2}= s_n \times b + f_{n+1} \times e + f_n \times i \
f_{n+1}= s_n \times c + f_{n+1} \times f + f_n \times j
$
根据题目的现实含义：
s_{n+1}=s_n+f_{n+1}
f_{n+2}=f_n+f_{n+1}
推导出:
a=1,d=1,h=0
b=0,e=1,i=1
c=0,f=1,j=0
整理出矩阵就是：
$m=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$
已知 $s_1=1，f_2=1，f_1=1$，使用矩阵快速幂可以求解 $s_n$。 即$b=\begin{bmatrix} 1 & 1& 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}s_2 & f_3 & f_2 \end{bmatrix}
$ ①
$\begin{bmatrix}s_2 & f_3 & f_2 \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}s_3 & f_4 & f_3 \end{bmatrix}
$ ②
将 ① 代入 ② 得到：
$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^2 =\begin{bmatrix}s_3 & f_4 & f_3 \end{bmatrix}
$
通过数学归纳法，得:
$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{n-1} =\begin{bmatrix}s_n & f_{n+1} & f_n \end{bmatrix}
$
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 3;
int n, mod;
// 矩阵乘法
void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N]) {
int t[N][N] = {0};
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++)
for (int k = 0; k < N; k++)
t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
}
memcpy(c, t, sizeof t);
}
signed main() {
int b[N][N] = {1, 1, 1};
int m[N][N] = {
{1, 0, 0},
{1, 1, 1},
{0, 1, 0}};
cin >> n >> mod;
for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
if (i & 1) mul(b, m, b);
mul(m, m, m);
}
printf("%d\n", b[0][0]);
}