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快速幂、龟速乘总结

一、快速幂

求 a^b\ mod \ p 的结果。

$Code$

// 快速幂(不加mod)
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a;
        b >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return res;
}

// 快速幂
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return res;
}

解释一下：

假如我们需要计算2^{10},正常的办法是

   int s = 1;
   for (int i = 1; i <= 10; i++) s = s * 2;
   cout << s << endl;

毫无疑问，这个算法是正确的。但它执行的次数是$10$次，有没有什么办法可以优化一下运算次数呢？

优化

将$10$进行二进制分解(10)_{10}=(1010)_2 这样处理后，从后向前，借助于我们熟悉的数位分离模板，就是遍历二进制的每一位。

此时，我们发现，最左面的数字$1$，权值是$8$，第三位的数字权值是2

同时，2^8*2^2=2^{10}

为什么会有这么神奇的现象呢？其实就是因为幂运算的性质造成：

\large 2^{10}=2^{8+2}=2^8*2^2

$Q:$为啥非得拆成8+2,为啥不拆成$7+3$呢？ 就是因为类似于 倍增 的办法在计算中好处理呗！

$a$在代码中的使命就是：我不管你用不用的上，反正我每次是翻倍！ 而枚举$b$的每一个数位，就是看看这个位置上的当前$a$是不是需要乘进来！幂运算的性质成功的把幂与二进制加法结合起来了。

把倍增的思路$2,4,8,16,32,...$这样长上来的，这是因为 2^1*2^1=2^2 2^2*2^2=2^4 2^4*2^4=2^8 2^8*2^8=2^{16} 2^{16}*2^{16}=2^{32}

模板题 : P1226 【模板】快速幂||取余运算

二、龟速乘

求 a*b\ mod \ p 的结果,$a,b,p$ 都是 10^{18} 级别。

Code

// 龟速乘，快速加
int qadd(int a, int b) {
    int res = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a + a) % MOD;
    }
    return res;
}

这东西怎么理解呢？

举栗子吧：

5*6_{10}=5*(110)_2

最右侧的$0$对就的权值是5^1=5 ① 右侧第二的$1$对就的权值是5*2=10 ② 右侧第三的$1$对就的权值是10*2=20 ③

而$② ③$对应的位置上有数字$1$，有效，$①$无效 结果就是10+20=30