python/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md

##AcWing 217. 绿豆蛙的归宿

一、题目描述

给出一个 有向无环的连通图，起点为 1 ，终点为 $N$，每条边都有一个长度。

数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。

绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 $1/K$。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的 期望 是多少？

输入格式 第一行: 两个整数 $N，M$，代表图中有 N 个点、M 条边。

第二行到第 1+M 行: 每行 3 个整数 $a,b,c$，代表从 a 到 b 有一条长度为 c 的有向边。

输出格式 输出从起点到终点路径总长度的 期望值，结果四舍五入保留两位小数。

数据范围 1≤N≤10^5,1≤M≤2N

输入样例：

4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4

输出样例：

7.00

二、数学期望

期望的起点一般都是唯一的，终点一般都是不唯一的。

所以，一般我们喜欢从终点倒推。

$f(i)$：从$i$跳到$N$的期望长度。边界f(N)=0 答案：f(1)

首先明白一点：到达某个结果的期望值 = 这个结果 * 从起始状态到这个状态的概率

什么意思呢？

如图：

我们计算从$1$号点到$3$号点的期望距离

路径1. \displaystyle 1 \rightarrow 3:E_1=2×\frac{1}{2}=1

路径2. \displaystyle 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3:E_2=1×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}×1=2

这里路径$2$中从$1$到$2$概率为\displaystyle \frac{1}{2},但单看从$2$到$3$概率就是$1$，但是从$1$到$3$那就是从($1$到$2$的概率)$\displaystyle \frac{1}{2}$×$1$($2$到$3$的概率)=$\displaystyle \frac{1}{2}$。 

所以从 点1 到 点3 的数学期望值=1+2=3

总结 ① 概率是叠乘的 ② 概率计算出来后，需要乘上边权值，做为本边权的贡献值 ③ 所有贡献值累加和就是期望

有向无环图

题意:给定一个$DAG$，求路径和。

由题意知，题目中的$K$就是每个点的出度。

然后，又由题意知，最后一个点，它没有出度，而到自己的距离为$0$，即状态已经确定。

用前向星存图，从第一个点开始

DFS,每次枚举它所连的边，并把边的边权 (w[i])加上，最后除以它的出度即可。

方程： $dp[n]=0 \ dp[i]+=(dp[son[i]]+e[son[i]].val)/out[i]$

其中，

$son[i]$是$i$所连得边，$e$是前向星，$val$是边权,$out[i]$是$i$的出度。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int out[N];
double f[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
double dfs(int u) {
    if (f[u] >= 0) return f[u]; // 如果u点计算过，记忆化搜索返回结果值
    f[u] = 0;                   // 初始化为0，准备开始填充
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        f[u] += (w[i] + dfs(j)) / out[u]; 
    }
    return f[u];
}
int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        out[a]++;
    }
    memset(f, -1, sizeof f);
    printf("%.2lf\n", dfs(1));
    return 0;
}