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##[$AcWing$ $1292$. 哥德巴赫猜想](https://www.acwing.com/problem/content/description/1294/)
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### 一、题目描述
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哥德巴赫猜想的内容如下：
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任意一个大于 $4$ 的偶数都可以拆成两个奇素数之和。
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例如：
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$8=3+5$
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$20=3+17=7+13$
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$42=5+37=11+31=13+29=19+23$
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现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。
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**输入格式**
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输入包含多组数据。
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每组数据占一行，包含一个偶数 $n$。
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读入以 $0$ 结束。
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**输出格式**
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对于每组数据，输出形如 $n = a + b$，其中 $a,b$ 是奇素数。
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若有多组满足条件的 $a,b$，输出 $b−a$ 最大的一组。
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若无解，输出 `Goldbach's conjecture is wrong.。`
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**数据范围**
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$6≤n<10^6$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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8
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20
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42
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0
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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8 = 3 + 5
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20 = 3 + 17
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42 = 5 + 37
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```
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### 二、一些常识
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- #### 欧拉筛时间复杂度
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$O(n)$
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- #### 自然对数$e$
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自然对数$e$是一个数学常数，约等于$2.71828$。它是一个无理数，也是一个重要的数学常数。$e$是自然对数的底数，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
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自然对数$e$可以通过以下级数展开来定义：
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$\large e = 1 + \frac{1}{1}! + \frac{1}{2}! + \frac{1}{3}! + \frac{1}{4}! + ...$
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$n!$表示$n$的阶乘。
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- #### 质数个数定理
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$1\sim n$之间质数的个数 **约** 是$\large \frac{n}{lgn}=\frac{n}{log_en}$
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**举个例子**：$n=100$,按如下的$C++$代码+质数个数定理进行计算,结果是$21$,实际上是$25$个，两者在数量级上是一致的，但不是非常准确，只能用于估算。
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$n \div lg(n) =100 \div 4.60517 = 21$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <iostream>
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#include <cmath>
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bool is_prime(int num) {
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if (num < 2) {
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return false;
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}
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for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) {
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if (num % i == 0) {
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return false;
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}
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}
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return true;
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}
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int main() {
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int n = 100; // n的值为100
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int prime_count = 0; // 质数个数的计数器
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (is_prime(i)) {
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prime_count++;
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}
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}
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std::cout << "质数个数: " << prime_count << std::endl;
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double estimated_count = (n / log(n)); // 使用质数个数定理估计质数的个数
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std::cout << "质数个数定理估计值: " << estimated_count << std::endl;
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return 0;
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}
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```
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- #### 算数基本定理
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任何一个大于$1$的自然数 $N$，如果$N$不为质数，那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积$N = P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}…P_n^{a_n}$，这里$P_1<P_2<P_3…<P_n$均为质数，其中指数$a_i$是正整数,这样的分解称为 $N$ 的标准分解式。
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### 三、实现思路
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- ① 欧拉筛求出区间内所有质数
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- ② 枚举每个质数，（**注意** 要放过数字$2$,因为$2$是偶数，本题要求是奇数）
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- ③ 判断$n-a$是不是也是质数，此时$st[i]$数组发挥巨大作用
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- ④ 找到的第一个就是结果
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### 四、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 欧拉筛
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const int N = 1e6 + 10;
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int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
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bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
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void get_primes(int n) {
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[primes[j] * i] = true;
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if (i % primes[j] == 0) break;
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}
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}
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}
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int main() {
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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// 欧拉筛求出区间内所有质数
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get_primes(N - 1); // 不能到N，因为数组下标从0开始！要不会越界~
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int n;
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while (cin >> n, n) {
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for (int i = 1;; i++) { // 枚举每个奇数质数,不用上界，因为认为哥德巴赫猜想是正确的，肯定有解
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int a = primes[i]; // primes[0]=2,因为2特殊，是质数，并且是奇数，本题要求是奇数，放过数字2
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int b = n - a; // 差值
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if (!st[b]) { // 差值也是质数,这个st数组用的漂亮啊，我还以为要在primes中二分呢
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// 第一个找的就是最小奇数质数因子，所以相对就是最大的奇数质数因子，两者的差就是最大
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printf("%d = %d + %d\n", n, a, b);
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break;
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}
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}
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}
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return 0;
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}
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``` |