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##AcWing 203. 同余方程

一、题目描述

求关于 x 的同余方程 ax≡1~(mod~b) 的 最小正整数解。

输入格式 输入只有一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。

输出格式 输出只有一行，包含一个正整数 $x$，表示最小正整数解。

输入数据保证一定有解。

数据范围 2≤a,b≤2×10^9

输入样例

3 10

输出样例

7

样例解读：3*7\%10=1,此时$7$是最小正整数解

二、解题思路

线性同余方程模板题

因为题目说一定有解。根据裴蜀定理，线性同余方程 $a*x≡b(mod~ m)$有解，当且仅当gcd(a,m)|b 。

回到本题，就是 $gcd(a,b)=1$，对照通用形式$\large ax+my=b$，上面的方程对位改写为 \large ax+by=1

解释:

通用式 a*x≡b(mod~ m) \Leftrightarrow ax+my=b

本题式 a*x≡1~(m od~b) \Leftrightarrow ax+by=1

扩欧解题两步走

• ① 用扩展欧几里得算法求出方程$ax+by=1$的一组解(x_0,y_0)
• ② 将 $x_0modb$，转移到 1\sim b 区间内即可

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

signed main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    cout << (x % b + b) % b << endl;
}