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##[$AcWing$ $1316$. 有趣的数列](https://www.acwing.com/problem/content/description/1318/)
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### 一、题目描述
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我们称一个长度为 $2n$ 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
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- 它是从 $1$ 到 $2n$ 共 $2n$ 个整数的一个排列 ${a_i}$
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- 所有的 **奇数项** 满足 $a_1<a_3<⋯<a_{2n−1}$,所有的 **偶数项** 满足 $a_2<a_4<⋯<a_{2n}$
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- 任意相邻的两项 $a_{2i−1}$ 与 $a_{2i}$ $(1≤i≤n)$ 满足奇数项小于偶数项，即：$a_{2i−1}<a_{2i}$
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任务是：对于给定的 $n$，请求出有多少个不同的长度为 $2n$ 的有趣的数列。
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因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 $mod$ $P$的值。
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**输入格式**
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只包含用空格隔开的两个整数 $n$ 和 $P$。
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**输出格式**
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仅含一个整数，表示不同的长度为 $2n$ 的有趣的数列个数 $mod$ $P$ 的值。
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**数据范围**
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$1≤n≤10^6,2≤P≤10^9$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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3 10
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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5
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```
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**样例解释**
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对应的 $5$ 个有趣的数列分别为 $\{1,2,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,4,6\},\{1,3,2,4,5,6\},\{1,3,2,5,4,6\},\{1,4,2,5,3,6\}$。
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### 二、解题思路
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**[嘉持老师的优秀教学视频](https://www.bilibili.com/video/BV1nE411A7ST)**
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我们要有这种直觉：一旦发现输入是$3$，输出是$5$，很可能就是 **卡特兰数**。关于卡特兰数的讲解可以参考：**[网址](https://blog.csdn.net/weixin_42638946/article/details/115751984)**。
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**如何判断某个问题是不是卡特兰数呢？一般由两种方式：**
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- ① 能得到公式：$$\large f(n)=f(0) \times f(n-1) + f(1) \times f(n-2) + ... +f(n-1)\times f(0)$$
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> **解释**:联想一下嘉持老师的画二叉树，就是向左子树分配$i$个节点，那么向右子树就分配$n-i-1$个节点,因为根点了一个节点。
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- ② 能挖掘出如下性质：任意前缀中，某种东西的数量 ≥ 另一种东西数量。
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组合数等于三个阶乘相乘除，因此我们求出各个阶乘的质因数分解，就能得到组合数的模$p$后大小。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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const int N = 2000010;
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int n, mod;
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int primes[N], cnt;
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bool st[N];
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void get_primes(int n) {
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[i * primes[j]] = true;
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if (i % primes[j] == 0) break;
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}
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}
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}
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int qmi(int a, int k) {
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int res = 1;
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while (k) {
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if (k & 1) res = res * a % mod;
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a = a * a % mod;
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k >>= 1;
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}
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return res;
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}
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int get(int n, int p) {
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int s = 0;
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while (n) {
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s += n / p;
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n /= p;
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}
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return s;
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}
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int C(int a, int b) {
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int res = 1;
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for (int i = 0; i < cnt; i++) {
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int p = primes[i];
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int s = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
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res = res * qmi(p, s) % mod;
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}
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return res;
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}
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signed main() {
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cin >> n >> mod;
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get_primes(n * 2);
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cout << (C(n * 2, n) - C(n * 2, n - 1) + mod) % mod << endl;
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}
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``` |