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AcWing 435. 传球游戏
一、题目描述
上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。
这次，老师带着同学们一起做传球游戏。
游戏规则是这样的：n 个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。
聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了 m 次以后，又回到小蛮手里。
两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。
比如有 3 个同学 1 号、2 号、3 号，并假设小蛮为 1 号，球传了 3 次回到小蛮手里的方式有 1→2→3→1 和 $1→3→2→1$，共 2 种。
输入格式 输入文件共一行，有两个用空格隔开的整数 $n，m$。
输出格式 输出文件共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。
数据范围
3≤n≤30,1≤m≤30
输入样例：
3 3
输出样例：
2
二、解题思路
(DP,环形DP) $O(NM)$
不妨设小蛮在$0$号，所有人的编号是 $0 \sim n−1$。
状态表示 $f[i, j]$：
- 集合：所有已经传了$i$次球，且最后球在编号是$j$的小朋友手上的方案
- 属性：集合中元素的数量；
状态计算：
我们可以发现，任何一个位置都只能从左边和右边传过来，这样我们就可以列出我们的方程：
① \large f[i][j] = f[i-1][2] + f[i-1][n] \ \ \ \ \ \ (j=1)
② \large f[i][j] = f[i-1][1] + f[i-1][n-1] (j=n)
③ \large f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1] (j \neq 1,j \neq n)
边界：
\large f[0][1] = 1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
// 边界：第0次传球，第1个人获得球的机会数
f[0][1] = 1;
// 传m次球
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (j == 1)
f[i][j] = f[i - 1][j + 1] + f[i - 1][n];
else if (j == n)
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][1];
else
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j + 1];
}
}
// 经过m次传球，球回到第1个人手中的机会数
cout << f[m][1] << endl;
return 0;
}