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P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数

题目传送门

一、前导知识

高精度乘法

老师将高精乘高精，高精乘低精想办法合并成了一个模板

没错应该看的出来，高精度乘法其实就是一位一位去乘，然后按位存储在数组里面，思路差不多就是这样。

由于位数比较多，我们用字符串来进行输入，处理后按位存到整型数组中。

我们用下标来确定存数组的位置，从图中也可以看出$a[i]*b[j]$就存在$[i + j - 1]$的位置上，然后每一位都进行累加（这里的累加是指同一位的累加，如$a[2]*b[1]$和$a[1]*b[2]$是存在同一位上的，就是都在$c[2]$中进行累加），累加完毕后再处理进位，最后倒序输出就可以噜~

高精度乘高精度模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], al;
int b[N], bl;
//高精度乘高精度模板
void mul(int a[], int &al, int b[], int bl) {
    int c[N] = {0}, cl = al + bl;

    for (int i = 1; i <= al; i++)
        for (int j = 1; j <= bl; j++)
            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];

    int t = 0;
    for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
        t += c[i];
        c[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }

    //前导0
    while (cl > 1 && c[cl] == 0) cl--;

    //将C数组复制回A数组
    memcpy(a, c, sizeof c);
    al = cl;
}
int main() {
    string x, y;
    cin >> x >> y;
    for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) a[++al] = x[i] - '0';
    for (int i = y.size() - 1; i >= 0; i--) b[++bl] = y[i] - '0';

    mul(a, al, b, bl);
    for (int i = al; i; i--) printf("%d", a[i]);
    return 0;
}

快速幂

一、什么是快速幂

答：快速求出 a^k 的结果！

二、快速幂的原理

答：快速幂算法的原理是通过将指数拆分成几个因数相乘的形式，来简化幂运算。在我们计算3^{13} 的时候，普通的幂运算算法需要计算$13$次，但是如果我们将它拆分成3^{8+4+1} ，再进一步拆分成 只需要计算$4$次。嗯？哪来的$4$次？，别急，接着看。

这种拆分思想其实就是借鉴了二进制与十进制转换的算法思想，我们知道$13$的二进制是$1101$，可以知道： 13=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 1

原理就是利用位运算里的位移“>>”和按位与“&”运算，代码中$k&1$其实就是取$k$二进制的最低位，用来判断最低位是$0$还是$1$，再根据是$0$还是$1$决定乘不乘，不理解的话联系一下二进制转换的过程。 $k >>= 1$其实就是将k的二进制向右移动一位，就这样位移、取最低位、位移、取最低位，这样循环计算，直到指数$k$为$0$为止，整个过程和我们手动将二进制转换成十进制是非常相似的。

普通幂算法是需要循环指数次，也就是指数是多少就要循环计算多少次，而快速幂因为利用了位移运算，只需要算“指数二进制位的位数”次，对于$13$来说，二进制是$1101$，有$4$位，就只需要计算$4$次，快速幂算法时间复杂度是$O(logn)$级别，对于普通幂需要计算一百万次的来说，快速幂只需要计算$6$次，这是速度上质的飞跃，但是需要多注意溢出的问题。

三、简单粗暴快速幂（可用于结合高精度乘法）

int qmi(int a, int k) {
    int res = 1; 
    while (k) {                    
        if (k & 1) res = res * a;  
        k >>= 1;                   
        a = (LL) a * a;                 
    }
    return res;
}

cout<<qmi(3,4)<<endl;

四、带取模的快速幂

// 快速幂 (a^k)%p
int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;                            //答案
    while (k) {                             //一路让k变小直到为0停止
        if (k & 1) res = (LL) res * a % p;  //如果k的个位是1的话
        k >>= 1;                            //右移一位
        a = (LL) a * a % p;                 //1-2-4-8-16，就是每进一位，是把a=a*a,注意使用long long 防止在乘积过程中爆了int
    }
    return res;
}

qmi(a, k, p));

五、高精度结合快速幂

int a[N], al;
int b[N], bl;

void mul(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
    int c[N] = {0}, cl = al + bl;
    for (int i = 1; i <= al; i++)
        for (int j = 1; j <= bl; j++)
            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];

    int t = 0;
    for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
        t += c[i];
        c[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    memcpy(a, c, sizeof c);
    al = cl;
    //前导0
    while (al > 1 && a[al] == 0) al--;
}
//快速幂+高精度 x^y
void qmi(int x, int y) {
    a[++al] = 1, b[++bl] = x;
    while (y) {
        if (y & 1) mul(a, al, b, bl);
        y >>= 1;
        mul(b, bl, b, bl);
    }
}

二、本题思路

这道题可以分为两个模块，第一个模块为求的位数，第二个模块为求的后$500$位（不足补零）。

1、求$2^p-1$的位数

首先我们知道$\large 2^p-1$与$\large 2^p$有着相同的位数，因为$2$的次方满足了最后一位不为零的要求，所以减一后位数并不会改变，那么我们可以直接求$\large 2^p$的位数。

怎么求位数呢？设$\large k=2^p$，根据$10^n$的位数为$n+1$，我们只要想办法把$k=2^p$中的底数$2$改为$10$，指数加一就是位数了。由此想到用$10$的几次方来代替$2$，那么就不难想到$10^{log_{10}2}=2$，这样便可以把$k=2^p$中的$2$代换掉，变为$$\large k=(10^{log_{10}2})^p$$。 根据乘方的原理，将$p$乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式

\large k=10^{log_{10}2*p}

所以：

\large 位数=log_{10}2*p+1

（提醒一下，$C++$中$cmath$库自带$log10()$函数...）

2、保留$500$位

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], al;
int b[N], bl;

void mul(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
    int c[N] = {0}, cl = al + bl;
    for (int i = 1; i <= al; i++)
        for (int j = 1; j <= bl; j++)
            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];

    int t = 0;
    for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
        t += c[i];
        c[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    //将C数组复制回A数组
    memcpy(a, c, sizeof c);
    al = min(500, cl); //只保留最大500个长度,不加这句话，会有3个点TLE掉
    //前导0
    while (al > 1 && a[al] == 0) al--;
}

//快速幂+高精度 x^y
void qmi(int x, int y) {
    a[++al] = 1, b[++bl] = x;
    while (y) {
        if (y & 1) mul(a, al, b, bl);
        y >>= 1;
        mul(b, bl, b, bl);
    }
}

int main() {
    //计算 2^y-1的值
    int y;
    cin >> y;
    //利用快速幂，计算2^y
    qmi(2, y);

    //最后一位减去一个1，因为2^k最后一位肯定不是0，所以减1不会产生借位，直接减去即可！
    a[1]--;

    //一共多少位
    printf("%d\n", (int)(y * log10(2) + 1));

    for (int i = 500; i; i--) {
        printf("%d", a[i]);
        //该换行了,就是到了第二行的行首
        if ((i - 1) % 50 == 0) puts("");
    }
    return 0;
}