python/TangDou/Topic/数论 欧拉降幂+费马小定理+指数循环节.md

数论 欧拉降幂+费马小定理+指数循环节+幂塔

姊妹文章

###　一、指数循环节

题目大意：求2^a\%1000000007,$1 \leq a \leq 10^{100000}$。

和队友一直怼 快速幂。然后$T$了。后来发现这个余数应该是循环的，我当时认为循环节是$1000000007$。后来才知道发现是$1000000006$。 让我们来复习一下费马小定理：

\large a^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p) \ gcd(a,p)=1

举例子: 取$p=7，a=3$，gcd(3,7)=1,可以使用费马小定理： 3^6 ≡ 1 (mod \ 7) 这有啥用呢？比如让我们求$3^{128}%7$的值，我们就可以用： 3^{128} \%7=3^{21*6+2}\%7=(3^6)^{21}\%7\times 3^2\%7=\underbrace{3^6\%7\times 3^6\%7\times ...\times 3^6\%7}_{\text{21个}}\times 3^2\%7 =\underbrace{1\times 1\times ...\times 1}_{\text{21个}}\times 3^2\%7 =9 \% 7=2 验证：我们可以用微软的$bing$直接输入$3^{128}%7$就可以得到答案。

$2$与$1000000007$互质,$2 ^ 0 = 2 ^ {p-1}$ 所以循环节为$p-1=1000000006$。

$\therefore 2 ^ a %1000000007 = 2 ^ {a %1000000006} %1000000007$。

当然还可以用 欧拉降幂：

结果不出我所料：$1000000007$的欧拉函数就是$1000000006$。

注：最后这句肯定是废话了，因为$1000000007$是质数嘛，$\phi(1000000007)$当然是$1000000006$了，这还用说啊~

###　二、幂塔的计算 (欧拉降幂) 形如以下式子的东西叫做 幂塔：

\large a^{a^{a^{a^...}}}

题目 给定$a,n,m$，计算$a$的$n$层幂塔对$m$取模后的结果。 (1<=a,n,m<=1e6)

解法 运用欧拉降幂递归求解即可。

具体过程：

定义的递归函数形式：$f(a,n,m)$，表示$a$的$n$层幂塔对$m$取模后的结果。

• 首先是对边界情况的判断（递归结束条件）

  • 当$m=1$时，f(a,n,m)=0.

    解释：因为任意整数对$1$取模都是$0$，表示任意整数都能被$1$整除，没有留下余数。

  • 当$n<=1$时，f(a,n,m)=qmi(a,n,m).

    解释：$n=1$也就是$1$层，那算就完了

• 欧拉降幂公式的$3$种情况

  • 当$gcd(a,m)=1$时 \large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m)),m)

    理解： a^b \equiv a^{b \ mod \ φ(m)},gcd(a,m)=1 我们看到：$g(a,n)=a^{a^{a^...}}$就是$n$层幂塔,如果把最底下的那个$a$去掉，剩下的就是$n-1$层幂塔，即b=g(a,n-1) 根据降幂公式,在取模的场景下，$b$是可以变形为 b \mod \ φ(m) 即b=f(a,n-1,φ(m))

• 当gcd(a,m)\neq 1 且 $a$的$n−1$层幂塔$ ≥ φ(m)$时 \large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m))+φ(m),m)
  

• 当gcd(a,m)\neq 1 且 $a$的$n−1$层幂塔$< φ(m)$时 \large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m)),m)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
#define int long long
#define endl '\n'

// 快速幂
int qmi(int a, int b, int p) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}

// 求单个数的欧拉函数值
int phi(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

// 判断n层幂塔指数是否>=phi
bool check(int a, int n, int phi) {
    if (n == 0) return phi <= 1;               // 0层幂塔是1
    if (a >= phi) return true;                 // 底数a>=phi，那么它的幂塔一定>=phi
    return check(a, n - 1, log(phi) / log(a)); // 取对数，消去一层，继续判断
}

// 计算n层幂塔: a^a^a^a..^a (mod m)
// 其中共有n个a
int f(int a, int n, int m) {
    if (m == 1) return 0; // 对1取模，恒为0
    if (n <= 1) return qmi(a, n, m);
    int p = phi(m);
    // 互质
    if (__gcd(a, m) == 1) return qmi(a, f(a, n - 1, p), m);
    // 不互质
    if (check(a, n - 1, p))
        return qmi(a, f(a, n - 1, p) + p, m); // a的指数>=phi

    return qmi(a, f(a, n - 1, p), m); // a的指数<phi, 所以改成对phi取模对答案无影响
}

signed main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int a, n, m;
        cin >> a >> n >> m;
        cout << f(a, n, m) << endl;
    }
}