4.0 KiB
4.0 KiB
多叉树转二叉树-有依赖的背包问题解法
一、多叉树的定义
多叉树即为子结点有任意个的树，而在转换时所涉及的多叉树是一棵有序的多叉树，也就是其子结点的顺序是不能够随便交换的。
二、二叉树的定义
二叉树是每个结点最多有两个后继，且子树有左右之分（次序不能任意颠倒）。
三、多叉树转二叉树的作用
- 在用数组等表示或保存多叉树时，会浪费存储的空间
- 由于树中每个结点的度各不相同，在搜索过程中会比较困难。
- 二叉树相对于多叉树便有了这些方面的优势，即能够节省存储空间，又能使搜索变得简便快捷。
因此可以通过将多叉树转换成为二叉树从而实现优化。
四、转换规则
将一棵多叉树转换成二叉树，我们遵循的原则是： 左儿子，右兄弟。
算法描述
将多叉树的第一个儿子结点作为二叉树的左结点，将其兄弟结点作为二叉树的右结点。
假设多叉树为$T$，新转化的二叉树为K
- $T$中的结点与$K$中的结点一一对应。
- $T$中的某个结点$N$的第一个子结点为$N_1$，则$K$中$N_1$为$N$的左儿子结点
- $T$中的某个结点$N$的第$i$个子结点记为$N_i$(除第一个子结点)，则$K$中$N_i$为$N_{i-1}$的右儿子结点($N_2$为$N_1$的右儿子结点，$N_3$为$N_2$的右儿子结点)
五、转换示意图
六、具体实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int n; //物品个数
int m; //背包容量
int v[N]; //物品的体积
int w[N]; //物品的价值
int p; //依赖的物品编号
int root; //根节点
//多叉树转二叉树
int l[N], r[N]; //左儿子，右兄弟
int son[N]; //记录i的目前输入的最后一个儿子是谁，为了后面再有其它儿子加入时，放到最后一个儿子的右子树上
/*i表示结点，j表示体积,f[i][j]表示i及其兄弟结点组合不超过体积j的最大价值。由于根结点没有兄弟结点，故f[root][v]
表示体积不超过v的最大价值*/
int f[N][N];
/**
* 功能：计算以i及其兄弟结点组合，体积不超过j的最大价值
* @param i 根
* @param j 体积
* @return 最大价值
*/
int dfs(int i, int j) {
if (i == 0 || j == 0) return 0; //递归出口,i=0:比如一个结点没有左儿子，默认就是i=0;
if (f[i][j]) return f[i][j]; //记忆化
//右子树,也就是兄弟们的最大值
f[i][j] = dfs(r[i], j);
//计算以自己为根的子树最大值(需要预留出v[i]的空间出来)并PK兄弟们的最大值
for (int k = 0; k <= j - v[i]; k++)//遍历所有可能的空间
//如果要了i结点，那么结果可能来自三方面：左子树，右子树，自己的w[i]
f[i][j] = max(f[i][j], dfs(r[i], k) + dfs(l[i], j - v[i] - k) + w[i]);
//返回最大值
return f[i][j];
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
//体积，价值，依赖的物品编号
cin >> v[i] >> w[i] >> p;
//将录入的多叉树转为二叉树，方便查找
if (p == -1) root = i;//记录根节点
else {
if (son[p] == 0) l[p] = i; //p还没有录入过儿子，那么记录p的左儿子=i
//如果p录入过儿子，那么需要找出它最后一个儿子是son[p],
// 将i记录到最后一个儿子的右结点上r[son[p]]=i
else r[son[p]] = i;
son[p] = i; //修改p的最后一个儿子为i
}
}
//深搜
cout << dfs(root, m) << endl;
return 0;
}