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### 一、$01$背包
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#### 1、状态定义
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$f[i][j]$ 代表在前$i$个物品中选择，背包容量上限是$j$的情况下，可以获得的最大价值。
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#### 2、状态转移
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$$\large f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j - w] + v)$$
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**解释**
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我们带着一个剩余容量为$j$的背包来到第$i$个物品面前
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- ① 如果我们不选择第$i$个物品，那么我们的收益就只能在前$i-1$个物品中获取到，可以使用的空间没有变化，还是$j$,即可以从$f[i-1][j]$转移过来
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- ② 如果我们选择了第$i$个物品，那么就会要求在走完前$i-1$个物品时，剩余的空间是$j-v$，这样才能放得下第$i$个物品，即可以从$f[i-1][j-w]+v$获取到现在的最大价值
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两个选择需要$PK$选一下大王，才是最终可能获取到的最大值,即
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$$\large f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w]+v)$$
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#### 3、实现代码（二维）
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N][N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int w, v;
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cin >> w >> v;
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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if (j >= w)
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w] + v); // 两种情况取最大值
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}
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}
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printf("%d\n", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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#### 4、实现代码（一维）
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上面的二维实现中，我们通过瞪眼大法（观察法）得知，打表时每一行的数据，都只依赖于上一行，即$f[i][?]$一定是从$f[i-1][?]$转移过来，也就再向上的其它数据行变得没有用处，我们可以重复利用，这样就可以使用滚动数组或者降维处理。但由于后面的依赖于前面的，如果是正序枚举就会造成后面使用时，前面的数据已修改造成统计错误，办法就是从后向前枚举，以保证在后面的数据处理时，前面的数据还没有修改，是上一行的数据，就正确了。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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// 01背包模板
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int w, v;
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cin >> w >> v;
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for (int j = m; j >= w; j--)
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f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
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}
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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### 二、完全背包
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#### 1、状态定义
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同$01$背包
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#### 2、状态转移
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第$i$个物品，我们可以选择，也可以放弃，放弃了自然就是$f[i−1][j]$,这个没什么好讲。
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如果我们选择了$i$物品，肯定要带上它的价值$v$,而承担它的重量$w$,
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完成了选择它以后，我们接下来可以在前多少个物品中选呢？其实，还是$i$个，因为每种物品的数量无限啊！所以，选完了$i$,剩余的表示还是:$f[i][j−w]$。
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$$\large f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w]+v)$$
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#### 3、实现代码（二维）
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N][N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int w, v;
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cin >> w >> v;
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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if (j >= w)
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - w] + v);
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}
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}
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printf("%d\n", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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#### 4、实现代码（一维）
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再用二维降一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N];
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// 完全背包问题
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int w, v;
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cin >> w >> v;
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for (int j = w; j <= m; j++)
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f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
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}
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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### 三、练习题
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### 四、进阶【二维费用完全背包】
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**[前导知识 $AcWing$ $8$. 二维费用的背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/8/)**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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// https://blog.csdn.net/gnn8291/article/details/90632100
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using namespace std;
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int W; // 可以提起 W单位重量的东西，
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int V; // 有一个能装V个单位体积的购物袋
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int n; // 为商品种类数
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// 注意多维限制的01背包，一般N值都比较小，100左右，太大就会编译出错了。
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const int N = 110;
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// 某种商品的重量、体积和让利金额
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int a[N], b[N], c[N];
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// DP数组
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int f[N][N][N];
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/**
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10 9 4
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8 3 6
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5 4 5
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3 7 7
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4 5 4
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答案:
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9
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2 4
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*/
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int main() {
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||
// 输入
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cin >> W >> V >> n;
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||
// 每一种商品的重量、体积和让利金额
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||
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
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||
|
||
// 遍历每个种类
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||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||
for (int j = 1; j <= W; j++) { // 遍历重量
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||
for (int k = 1; k <= V; k++) { // 遍历体积
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int x = f[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + c[i]; // 如果选了，结果是x
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int y = f[i - 1][j][k]; // 如果不选，结果是y
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||
// 如果剩余的重量和体积都够用的时候,尝试拿当前物品
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if (j >= a[i] && k >= b[i])
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||
f[i][j][k] = max(x, y); // 也是两个分支，一是不选，另一个是选，要取最大值
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||
else
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f[i][j][k] = y; // 装不下，不管是哪种原因装不下，都是这个分支
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}
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||
}
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||
}
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||
// 输出
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cout << f[n][W][V] << endl; // 小惠能够得到的最大让利金额
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return 0;
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||
}
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```
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带路径
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int W; // 可以提起 w 单位重量的东西，
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int V; // 有一个能装v个单位体积的购物袋
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int n; // 为商品种类数
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||
// 注意多维限制的01背包，一般N值都比较小，100左右，太大就会编译出错了。
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const int N = 110;
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||
// 某种商品的重量、体积和让利金额
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int a[N], b[N], c[N];
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||
// 在取得最大让利金额的时候，到底是拿了哪些商品？
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string s[N][N][N];
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||
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// DP数组
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int f[N][N][N];
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||
/**
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10 9 4
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8 3 6
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5 4 5
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3 7 7
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4 5 4
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答案:
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9
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2 4
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*/
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int main() {
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// 输入
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cin >> W >> V >> n;
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||
|
||
// 每一种商品的重量、体积和让利金额
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
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||
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||
// 遍历每个种类
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||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
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||
// 遍历重量(填表)
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for (int j = 1; j <= W; j++) {
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// 遍历体积(填表)
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for (int k = 1; k <= V; k++) {
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int x = f[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + c[i];
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int y = f[i - 1][j][k];
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||
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||
// 如果剩余的重量和体积都够用的时候,尝试拿当前物品
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if (j >= a[i] && k >= b[i]) {
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||
// 也是两个分支，一是不选，另一个是选，要取最大值
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if (x > y) { // 要上合适
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f[i][j][k] = x;
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// 同时记录拿了这个物品
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s[i][j][k] = s[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + " " + (char)(i + '0');
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} else // 不要合适
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f[i][j][k] = y;
|
||
} else { // 装不下，不管是哪种原因装不下，都是这个分支
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f[i][j][k] = y;
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||
// 同时记录不拿当前物品,保持和之前一样的物品列表
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||
s[i][j][k] = s[i - 1][j][k];
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}
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}
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}
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}
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// 输出
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cout << f[n][W][V] << endl; // 小惠能够得到的最大让利金额
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string str = s[n][W][V]; // 依次为从小到大排列的商品序号
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cout << str.substr(1, str.size() - 1);
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return 0;
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}
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