2.6 KiB
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一、题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 s_i 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<v_i,w_i,s_i≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
二、分析过程
-
状态表示 集合：所有只从前$i$个物品中选，并且总体积不超过$j$的选法 属性：集合中每一个选法对应的总价值的最大值
-
状态计算 就是一个集合划分的过程，就是和完全背包很像，但不像完全背包有无穷多个，而是有数量限制
-
初始状态：
f[0][0] -
目标状态：
f[n][m]
状态转移方程
\large f[i][j] = max\{(f[i-1][j − k*v[i]] + k*w[i]) | 0 ≤ k ≤ s[i],j>=k*v[i]\}
三、实现代码（二维数组）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 讨论每个物品
int w, v, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 0; j <= m; j++) // 讨论每个剩余的体积
for (int k = 0; k <= s && v * k <= j; k++) // 讨论加入的个数
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + w * k);
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
四、实现代码（一维数组)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = m; j >= v; j--)
for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k++)
f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}