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## 求约数和的三重境界
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### 一、先上结论
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<!-- 让表格居中显示的风格 -->
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<style>
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.center
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{
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width: auto;
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display: table;
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margin-left: auto;
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margin-right: auto;
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}
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</style>
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<div class="center">
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| 数据量/办法 | 暴力$O(N^2)$ | 普通筛法$O(N\cdot logN)$ | 欧拉筛法$O(N)$ |
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| $n=1e5$ | $13402ms$ | $4ms$ | $2ms$ |
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| $n=1e6$ | 无法忍受，不能出结果 | $67ms$ | $15ms$ |
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</div>
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考虑到$O(N^2)$的复杂度，按$C++$一秒$1e8$的运算能力，$1e6*1e6=1e12$,应该是需要$1e12 /1e8=1e4=10000$秒，三个小时，去死吧！太垃圾了~
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<font color='red' size=4><b>注意：
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* 普通筛法:代码极短，性能足够，推荐使用
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* 欧拉筛法：代码太长，性能优秀，不推荐使用
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</b></font>
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### 二、暴力法
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```c++
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//暴力大法 , 不包含自己
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int bforce(int n) {
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int sum = 0;
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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if (n % i == 0)
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sum = sum + i;
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}
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return sum;
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}
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```
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时间复杂度$O(N^2)$
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### 三、普通筛法
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```c++
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for (int i = 1; i <= n; i++) // O(n)
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for (int j = 2; j <= n / i; j++) // 调和级数O(logn) = n + n / 2 + n / 3 + ... + n/n = lnn + c
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sum2[i * j] += i;
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```
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时间复杂度$O(N\cdot logN)$
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### 四、线性筛法
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[原理解析](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16650121.html)
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```c++
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int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
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bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
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int num[N]; // i的最小质因子构成的一个等比数列求和的结果
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int sd[N]; //约数和
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void get_primes(int n) {
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sd[1] = 1; // 1的约数和是1
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for (int i = 2; i <= n; i++) { //遍历 2~n,筛质数的同时，筛出每个数字的约数和
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if (!st[i]) { //如果i是质数
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primes[cnt++] = i; //记录i到质数数组中
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sd[i] = num[i] = 1 + i; //质数的约数和是1+自身
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}
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[i * primes[j]] = true; //记录primes[j]的整数倍(i倍)是合数
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if (i % primes[j]) { //如果i不包含primes[j]这个质数因子
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sd[i * primes[j]] = sd[i] * sd[primes[j]];
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num[i * primes[j]] = primes[j] + 1;
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} else { //如果i包含了primes[j]这个质数因子
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sd[i * primes[j]] = sd[i] / num[i] * (num[i] * primes[j] + 1);
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num[i * primes[j]] = num[i] * primes[j] + 1;
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break;
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}
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}
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}
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}
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```
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### 五、附：测试对比的代码
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```c++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const int N = 1e6 + 10;
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int sum1[N], sum2[N], sd[N];
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int n = 1e5;
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//暴力大法 , 不包含自己
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int bforce(int n) {
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int sum = 0;
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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if (n % i == 0)
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sum = sum + i;
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}
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return sum;
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}
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int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
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bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
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int num[N]; // i的最小质因子构成的一个等比数列求和的结果
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int sd[N]; //约数和
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void get_primes(int n) {
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sd[1] = 1; // 1的约数和是1
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for (int i = 2; i <= n; i++) { //遍历 2~n,筛质数的同时，筛出每个数字的约数和
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||
if (!st[i]) { //如果i是质数
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primes[cnt++] = i; //记录i到质数数组中
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||
sd[i] = num[i] = 1 + i; //质数的约数和是1+自身
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}
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[i * primes[j]] = true; //记录primes[j]的整数倍(i倍)是合数
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if (i % primes[j]) { //如果i不包含primes[j]这个质数因子
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sd[i * primes[j]] = sd[i] * sd[primes[j]];
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num[i * primes[j]] = primes[j] + 1;
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} else { //如果i包含了primes[j]这个质数因子
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sd[i * primes[j]] = sd[i] / num[i] * (num[i] * primes[j] + 1);
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num[i * primes[j]] = num[i] * primes[j] + 1;
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break;
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}
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}
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}
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}
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int main() {
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//记录开始时间
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clock_t begin = clock();
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// 1、暴力计算 O(n^2)
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// for (int i = 1; i <= n; i++) sum1[i] = bforce(i);
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// for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sum1[i]);
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puts("");
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//记录结束时间
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clock_t end = clock();
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cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
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// 2、通过筛法求出1到n的所有约数之和
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//记录开始时间
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begin = clock();
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for (int i = 1; i <= n; i++) // O(n)
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for (int j = 2; j <= n / i; j++) // 调和级数O(logn) = n + n / 2 + n / 3 + ... + n/n = lnn + c
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sum2[i * j] += i;
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// for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sum2[i]);
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puts("");
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//记录结束时间
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end = clock();
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cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
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// 3、利用欧拉定理筛出约数和
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//记录开始时间
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begin = clock();
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get_primes(n);
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// for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sd[i]-i);
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puts("");
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//记录结束时间
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end = clock();
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cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
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return 0;
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}
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``` |