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##[$AcWing$ $871$. 约数之和](https://www.acwing.com/problem/content/873/)
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### 一、题目描述
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给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 $10^9+7$ 取模。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 $10^9+7$ 取模。
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**数据范围**
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$1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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2
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6
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8
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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252
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```
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### 二、约数和定理
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方法：
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$$\LARGE (p_1^0+p_1^1+…+p_1^{r_1})\times (p_2^0+p_2^1+…+p_2^{r_2}) \times…\times(p_k^0+p_k^1+…+p_k^{r_k})$$
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以$360$举例,求它的全部约数和:
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$$\LARGE 360 = 2*2*2*3*3*5 =2^3 * 3^2 * 5^1$$
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约数和就是：
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$$\LARGE (2^0+2^1+2^2+2^3)*(3^0+3^1+3^2)*(5^0+5^1) = \\
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\LARGE (1+2+4+8)*(1+3+9)*(1+5)= \\
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\LARGE 15*13*6=1170$$
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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typedef pair<int, int> PII;
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const int N = 110;
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const int MOD = 1e9 + 7;
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unordered_map<int, int> primes;
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int n;
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signed main() {
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cin >> n;
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while (n--) {
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int x;
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cin >> x;
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for (int i = 2; i <= x / i; i++)
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while (x % i == 0) {
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x /= i;
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primes[i]++;
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}
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if (x > 1) primes[x]++;
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}
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int res = 1;
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for (auto p : primes) {
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int a = p.first, b = p.second; // 质数，几个
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int t = 1;
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while (b--) t = (t * a + 1) % MOD;
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res = res * t % MOD;
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}
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printf("%lld\n", res);
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}
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```
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### 五、关键代码讲解
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```cpp {.line-numbers}
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while (b--) t = (t * a + 1) % MOD;
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```
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这句话怎么理解？
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<font color='red' size=6><b>结论： 每次都是上次运算结果$*a+1$</b></font>
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原理：其实，对于每个质因子，是在计算:
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$$\LARGE a^0+a^1+a^2+...+a^{k-1}+a^k= \sum_{i=0}^k a^i$$
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这东西用代码怎么表示呢？
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$$\LARGE \sum_{i=0}^k a^i= a^k+a^{k-1}+...+a^2+a^1+a^0 = \\
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\LARGE a^k+a^{k-1}+...+a^2+a^1+1
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$$
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按代码来逆向理解,<font color='red' size=6><b>核心思路：乘$a$+1</b></font>：
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第一步：$\LARGE t=1,t=(a+1)$
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第二步：$\LARGE t=t*a+1=a*(a+1)+1=a^2+a+1$
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第三步：$\LARGE t=t*a+1=a*(a^2+a+1)+1 =a^3+a^2+a+1$
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符合上面的运算逻辑，是正确的计算办法。
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举栗子：
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$$\large 3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5$$
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