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AcWing 356 次小生成树

一、题目描述

给定一张 N 个点 M 条边的无向图，求无向图的严格次小生成树。

设最小生成树的边权之和为 $sum$，严格次小生成树就是指边权之和大于 sum 的生成树中最小的一个。

输入格式 第一行包含两个整数 N 和 $M$。

接下来 M 行，每行包含三个整数 $x，y，z$，表示点 x 和点 y 之前存在一条边，边的权值为 $z$。

输出格式 包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

数据范围 N≤10^5,M≤3×10^5,1≤x,y≤N,0≤z≤10^6

输入样例：

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

输出样例：

11

二、题目分析

本题要求 严格次小生成树，之前在AcWing 1148 秘密的牛奶运输 里也曾求过次小生成树，但是本题的 数据范围更大 。

解释：本题目N=1e5,太大，无法使用 AcWing 1148. 秘密的牛奶运输 的办法（开二维数组，记录$x->y$间的 最大边权 和 次大边权），直接 $MLE$了。 AcWing 1148 的那个$dfs+kruskal$求严格次小生成树的办法，时间复杂度$TLE$，空间$MLE$，需要一个更牛的 求严格次小生成树 的办法。

秘密的牛奶运输的的性能为什么可以优化呢？这是因为每次执行$dfs$求最小生成树上两点路径中的 最大边权 和 次大边权 的时间复杂度是$O(n)$，总的时间复杂度就是$O(n^2)$，求任意两点间的最短距离可以想办法优化。

通过 倍增算法，可以高效的记录任意两点间的最长边和严格次长边，而且是$O(log_2N)$，比上面的$O(n)$快。

本题总的解题流程与秘密的牛奶运输那题基本一致，只是在求 最长边、严格次长边 的方法上有所不同。

思路

d[i][k]

树上节点$i$向上走$2^k$步到达的节点，状态转移方程

\large d[i][k] = d[d[i][k-1]][k-1]

设j=d[i][k-1],状态转移方程

\large d[i][k] = d[j][k-1]

f[i][k]

$i$到$d[i][k]$节点路径上的最大边权、次大边权

$f[i][k].first$的求解很显然：

\large f[i][k].first = max(f[i][k-1].first,f[j][k-1].first)

$f[i][k].second$的求解分情况讨论：

①if(f[i][k-1].first == f[j][k-1].first)

\large f[i][k].second = max(f[i][k-1].second,f[j][k-1].second)

②f[i][k-1].first > f[j][k-1].first

\large f[i][k].second = max(f[i][k-1].second,f[j][k-1].first)

③f[i][k-1].first < f[j][k-1].first

\large f[i][k].second = max(f[i][k-1].first,f[j][k-1].second)

求出了树上任意一点向上走$2^k$步路径中的 最大边权 和 次大边权 并不是求解本题的终点 ，我们需要的是求解树上任意两点间的最大边权和次大边权。

回忆下求节点$a$和节点$b$的$LCA$的过程，我们先将深度较大的$a$节点不断向上跳，直到跳到与$b$节点 同一深度为止，如果此时$a$与$b$不重合，则继续将$a$和$b$以同样的步数向上跳，直到$a$和$b$的父节点是同一个为止。

求$LCA$的树上倍增的过程也可以用来 求最大和次大边权，只需要在跳的过程中 同步更新最大边权和次大边权 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010, M = 300010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int f[N][16];    // f[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点
PII dist[N][16]; // d[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点最长距离和次长距离
int depth[N];    // 深度数组

// Kruskal结构体
struct Edge {
    int a, b, c; // 从a到b边权为c
    bool flag;   // 是不是最小生成树的树边
    const bool operator<(const Edge &t) const {
        return c < t.c;
    }
} edge[M];

// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (x == p[x]) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

// 树上倍增求任意点到2^0,2^1,2^2,...的距离，注意，不是任意两点间最长距离和次长距离,是半成品，不是成品！
int bfs(int root) {
    queue<int> q;
    q.push(root);
    depth[root] = 1;
    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (!depth[v]) {
                depth[v] = depth[u] + 1; // 记录深度
                q.push(v);
                f[v][0] = u; // 记录2^0->t,描述父节点

                //-->下面是与普通的倍增不一样的代码<--
                // v->u 的最大距离:w[i],与次大距离:-INF,递推初始化数据
                dist[v][0] = {w[i], -INF};

                for (int k = 1; k <= 15; k++) { // 倍增
                    int x = f[v][k - 1];        // 设v跳2 ^(k-1)到达的是x点
                    f[v][k] = f[x][k - 1];      // x点跳2^(k-1)到达的终点就是v跳2^k的终点

                    //-->下面是与普通的倍增不一样的代码<--
                    // ①最大边权
                    dist[v][k].first = max(dist[v][k - 1].first, dist[x][k - 1].first);
                    // ②次大边权
                    if (dist[v][k - 1].first == dist[x][k - 1].first)                          // 如果前半部分最大距离等于后半部分最大距离
                        dist[v][k].second = max(dist[v][k - 1].second, dist[x][k - 1].second); // 整体次大=max(前半次大，后半次大)
                    else if (dist[v][k - 1].first < dist[x][k - 1].first)                      // 如果前半最大小于后半最大
                        dist[v][k].second = max(dist[v][k - 1].first, dist[x][k - 1].second);  // 整体次大=max(前半最大，后半次大)
                    else                                                                       // 如果前半最大大于后半最大
                        dist[v][k].second = max(dist[v][k - 1].second, dist[x][k - 1].first);  // 整体次大=max(前半次大，后半最大)
                }
            }
        }
    }
}

// 因为同时需要同步修改最大值和次大值，所以采用了地址符&引用方式定义参数
//  m1:最大值，m2：次大值
void update(int &m1, int &m2, PII x) {
    if (m1 == x.first)
        m2 = max(m2, x.second);
    else if (m1 < x.first)
        m2 = max(m1, x.second), m1 = x.first;
    else
        m2 = max(m2, x.first);
}

// 功能：添加上a->b的边,边权是c,去掉a->b的原来最大或次大，比最小生成树多出来多少边权(c- m1 或者 c-m2)
// 思路：利用倍增思想,找出a->b之间的最大距离和次大距离
// 具体是-m1,还是-m2，要区别对待，如果c=m1,就是-m2,否则-m1
int lca(int a, int b, int c) {
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);  // 保证a的深度大于b的深度
    int m1 = -INF, m2 = -INF;             // 最大边，次大边初始化
    for (int k = 15; k >= 0; k--)         // 由小到大尝试
        if (depth[f[a][k]] >= depth[b]) { // 让a向上跳2^k步
            update(m1, m2, dist[a][k]);   // 记录a到向上走2^k步这段范围内，遇到的最大和次大长度
            a = f[a][k];                  // 标准lca
        }

    // 当a与b不是同一个点时
    // 此时两者必然是depth一样的情况，同时向上查询2^k，必然可以找到LCA
    if (a != b) {
        for (int k = 15; k >= 0; k--)
            if (f[a][k] != f[b][k]) {
                update(m1, m2, dist[a][k]); // 记录a到向上走2^k步这段范围内，遇到的最大和次大长度
                update(m1, m2, dist[b][k]); // 记录b到向上走2^k步这段范围内，遇到的最大和次大长度
                // 注意写在a=f[a][k],b=f[b][k]上方，要不a,b就被改了，此句就不对了
                a = f[a][k], b = f[b][k];
            }
        // 此时a和b到lca下同一层 所以还要各跳1步=跳2^0步
        update(m1, m2, dist[a][0]);
        update(m1, m2, dist[b][0]);
    }
    // m1,m2中装的是 a->b之间的最大边权和次大边权，现在给了一个新边权c,它能替换m1,m2,还是谁也替换不了呢？
    // 因为m1,m2是最小生成树中的最大边权和次大边权，c >= m1 > m2
    // if(c==m1) 那么c能去替换m2,获取的收益就是c-m2
    // if(c> m1) 那么c能去替换m1,获取的收益就是c-m1
    return c == m1 ? c - m2 : c - m1;
}
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    // 并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    // 邻接表初始化
    memset(h, -1, sizeof h);

    // Kruskal
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        edge[i] = {a, b, c, 0};
    }

    // 按边权排序+最小生成树
    sort(edge, edge + m);

    LL sum = 0, ans = 1e18;

    // Kruskal
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), c = edge[i].c;
        if (a != b) {
            p[a] = b;

            sum += c;         // 最小生成树的边权总和
            edge[i].flag = 1; // 标识为最小生成树中的边,因为后面要枚举非树边
            // 将最小生成树中的树边单独构建一个图出来
            add(edge[i].a, edge[i].b, c), add(edge[i].b, edge[i].a, c);
        }
    }

    // 倍增预处理,记录任意点向上2^k步的最大值，次大值，深度等信息，后面lca会用到
    // 以任意点为根
    bfs(1);

    // 用非树边去尝试替换最小生成树中的边，然后取min
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if (!edge[i].flag) { // 枚举非树边
            int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
            ans = min(ans, sum + lca(a, b, c));
            // 在最小生成树中，将a,b两点间连接一条长度为c的边,相对最小生成树，长度会增加多少呢？
        }
    // 输出
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}