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## [$AcWing$ $1140$. 最短网络](https://www.acwing.com/problem/content/1142/)
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### 一、题目描述
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农夫约翰被选为他们镇的镇长！
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他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。
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约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。
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约翰的农场的编号是$1$，其他农场的编号是 $2$∼$n$。
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为了使花费最少，他希望用于连接所有的农场的 **光纤总长度尽可能短**。
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你将得到一份各农场之间连接距离的列表，你必须找出能连接所有农场并使所用光纤最短的方案。
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**输入格式**
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第一行包含一个整数 $n$，表示农场个数。
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接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，输入一个对角线上全是$0$的对称矩阵。
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其中第 $x+1$ 行 $y$ 列的整数表示连接农场 $x$ 和农场 $y$ 所需要的光纤长度。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示所需的最小光纤长度。
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**数据范围**
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$3≤n≤100$
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每两个农场间的距离均是非负整数且不超过$100000$。
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**输入样例**
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```c++
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4
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0 4 9 21
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4 0 8 17
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9 8 0 16
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21 17 16 0
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```
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**输出样例**
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```c++
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28
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```
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### 三、$Prim$ 算法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int n;
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int g[N][N];
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int dis[N];
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bool st[N];
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int res;
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int prim() {
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memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
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dis[1] = 0;
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for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
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int t = -1;
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
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if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
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if (i) res += dis[t];
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
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dis[j] = g[t][j];
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}
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st[t] = true;
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}
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return res;
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}
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int main() {
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cin >> n;
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// 初始化
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memset(g, 0x3f, sizeof g);
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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cin >> g[i][j]; // 有向图
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cout << prim() << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 四、$kruscal$ 算法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110, M = 10010;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int n, m; // n个节点，m条边
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// Kruskal用到的结构体
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struct Node {
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int a, b, c;
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bool const operator<(const Node &t) const {
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return c < t.c; // 边权小的在前
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}
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} edge[M]; // 数组长度为是边数
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// 并查集
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int p[N];
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int find(int x) {
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if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
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return p[x];
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}
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int res; // 最小生成树的权值和
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int cnt; // 最小生成树的结点数
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// Kruskal算法
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void kruskal() {
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// 1、按边权由小到大排序
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sort(edge, edge + m);
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// 2、并查集初始化
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for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
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// 3、迭代m次
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for (int i = 0; i < m; i++) {
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int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
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a = find(a), b = find(b);
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if (a != b)
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p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
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}
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// 4、特判是不是不连通
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if (cnt < n - 1) res = INF;
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}
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int main() {
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cin >> n;
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// 邻接矩阵
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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int c;
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cin >> c;
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edge[m++] = {i, j, c}; // 加入当前的边
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}
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kruskal();
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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```
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