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## [$AcWing$ $1146$. 新的开始](https://www.acwing.com/problem/content/description/1148/)
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### 一、题目描述
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发展采矿业当然首先得有矿井，小 $FF$ 花了上次探险获得的千分之一的财富请人在岛上挖了 $n$ 口矿井，但他似乎忘记了考虑矿井供电问题。
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为了保证电力的供应，小 $FF$ 想到了两种办法：
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在矿井 $i$ 上建立一个发电站，费用为 $v_i$（发电站的输出功率可以供给任意多个矿井）。
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将这口矿井 $i$ 与另外的已经有电力供应的矿井 $j$ 之间建立电网，费用为 $p_{i,j}$。
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小 $FF$ 希望你帮他想出一个保证所有矿井电力供应的 **最小花费方案**。
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**输入格式**
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第一行包含一个整数 $n$，表示矿井总数。
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接下来 $n$ 行，每行一个整数，第 $i$ 个数 $v_i$ 表示在第 $i$ 口矿井上建立发电站的费用。
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接下来为一个 $n×n$ 的矩阵 $P$，其中 $p_{i,j}$ 表示在第 $i$ 口矿井和第 $j$ 口矿井之间建立电网的费用。
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数据保证 $p_{i,j}=p_{j,i}$，且 $p_{i,i}=0$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示让所有矿井获得充足电能的最小花费。
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**数据范围**
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$1≤n≤300,0≤v_i,p_i,j≤10^5$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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5
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4
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4
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3
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0 2 2 2
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2 0 3 3
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2 3 0 4
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2 3 4 0
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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9
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```
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### 二、解题思路
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为了节点$i$供应电力，有两种办法：
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- 在节点 $i$ 建发电站，代价为$v_i$
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- 与另外的已经有电力供应的矿井 $j$ 之间建立电网,代价为$p_{i,j}$
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上面两种情况，第一个是 **点权**，第二个是 **边权**,不太好统一口径，这种问题的 **经典作法** 是:
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<font color='red' size=4><b>利用超级源点将点权转化为超级源点到当前点的边权</b></font>！
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* 在节点$i$建发电站的费用是$v_i$,建立虚拟结点$S$，相当于$i$号点到$S$号点的费用是$v_i$
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* 求$n$个矿井电力供应的最小花费，等价于求$n + 1$个点的最小生成树
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### 三、$Kruskal$算法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 310;
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int n; // n条顶点
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int res; // 最小生成树的权值和
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// Kruskal用到的结构体
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const int M = 2 * N * N; // 无向图*2，稠密图N*N
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struct Edge {
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int a, b, c;
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const bool operator<(const Edge &t) const {
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return c < t.c;
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}
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} edge[M];
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int el; // 边数
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// 并查集
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int p[N];
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int find(int x) {
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if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
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return p[x];
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}
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// Kruskal算法
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int kruskal() {
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// 按边的权重排序
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sort(edge, edge + el);
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// 初始化并查集,注意并查集的初始是从0开始的，因为0号是超级源点
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for (int i = 0; i <= n; i++) p[i] = i;
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// 枚举每条边
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for (int i = 0; i < el; i++) {
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int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
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a = find(a), b = find(b);
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if (a != b)
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p[a] = b, res += c;
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}
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return res;
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}
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int main() {
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cin >> n;
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// 建立超级源点(0 <-> 1~n )
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int c;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> c; // 点权转边权
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edge[el++] = {0, i, c};
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edge[el++] = {i, 0, c};
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}
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// 本题是按矩阵读入的，不是按a,b,c方式读入的
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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cin >> c;
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edge[el++] = {i, j, c};
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edge[el++] = {j, i, c};
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}
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// 利用Kruskal计算最小生成树
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cout << kruskal() << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 四、$Prim$算法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 310;
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int n;
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int g[N][N];
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int dis[N];
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bool st[N];
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int res; // 最小生成树里面边的长度之和
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void prim() {
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memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 初始化所有距离为INF
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dis[0] = 0; // 超级源点是在生成树中的
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for (int i = 0; i <= n; i++) { // 注意：这里因为引入了超级源点，所以点的个数是n+1
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int t = -1;
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for (int j = 0; j <= n; j++)
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if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
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if (i) res += dis[t];
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// 有超级源点的题，是必然存在最小生成树的
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// 注意这里也是需要从0~n共n+1个
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for (int j = 0; j <= n; j++)
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if (!st[j] && dis[j] > g[t][j])
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dis[j] = g[t][j];
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st[t] = true;
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}
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}
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int main() {
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cin >> n;
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// 建立超级源点(0 <-> 1~n )，点权转化为超级源点到此节点的边权
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int c;
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cin >> c;
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g[i][0] = g[0][i] = c;
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}
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// 本题是按矩阵读入的，不是按a,b,c方式读入的
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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cin >> g[i][j];
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// 利用prim计算最小生成树
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prim();
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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```
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