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##[$AcWing$ $201$. 可见的点](https://www.acwing.com/problem/content/203/)
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### 一、题目描述
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在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点 $(x,y)$ 与原点 $(0,0)$ 的连线中没有通过其他任何点，则称 **该点在原点处是可见的** 。
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例如，点 $(4,2)$ 就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点 $(2,1)$。
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部分可见点与原点的连线如下图所示：
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<center><img src='https://www.acwing.com/media/article/image/2019/01/18/19_a68c1a281a-3090_1.png'></center>
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编写一个程序，计算给定整数 $N$ 的情况下，满足 $0≤x，y≤N$ 的可见点 $(x，y)$ 的数量（可见点不包括原点）。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $C$，表示共有 $C$ 组测试数据。
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每组测试数据占一行，包含一个整数 $N$。
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**输出格式**
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每组测试数据的输出占据一行。
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应包括：测试数据的编号（从 $1$ 开始），该组测试数据对应的 $N$ 以及可见点的数量。
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同行数据之间用空格隔开。
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**数据范围**
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$1≤N,C≤1000$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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2
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4
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5
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231
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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1 2 5
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2 4 13
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3 5 21
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4 231 32549
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```
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### 二、前导知识
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**[欧拉函数专题](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15213612.html)**
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### 三、算法分析
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设$(x_0,y_0)$是某一直线射到的 **第一个点**，则该方程为$y=kx$,其中$k=\frac{y_0}{x_0}$，该直线有以下性质：
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- ① 直线方程上的其他点均是$(x_0,y_0)$的倍数，即$(m\cdot x_0,m\cdot y_0)$,因为斜率相同嘛
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- ② $\frac{x_0}{y_0}=1$:
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- 此情况 **特殊**，只有一个点满足，就是$(1,1)$
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- ③ $\frac{x_0}{y_0} \neq 1$时，两者必然互质:
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- **证明**：如果不互质，并且斜率一样，那么它前面的互质点对，必然把它挡上。
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求$(x,y)$互质的点对数量，就是本题的题意。
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$gcd(x,y)=1$，联想到 **欧拉函数** 。
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**欧拉函数求的是$1 \sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数**，若需要使用欧拉函数，与$n$互质的数需要小于等于它本身，因此求$0 <= x ,y <= n$中，$(x,y)$互质的个数需要进行分类，使得某一边小于等于另一边，如图所示，对$y = x$直线进行切割，使得两边的点对称，只需求右下方区域即可，右下区域的点满足$x > y$的性质，且$y$ 属于$1$到$x - 1$的区间，因此对于每个$x$，求出$1$到$x - 1$中与$x$互质的数的个数，即相当于求$x$的欧拉函数,因此 **用筛法求出$1$到$x$的所有欧拉函数**。
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> <font color='red' size=4><b>注：
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> ① 这里说的$x>y$是指离散的整数点
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> ② 最大是$n$,同时也要考虑每个小于$n$的数字的欧拉函数值
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> 即 $sum=2*(phi(2)+phi(3)+...+phi(n))+1$
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> </b></font>
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由于$2$到$n$中的欧拉函数的个数需要算两次(对称)，而$x=y=1$时只需要算一次，因此$\displaystyle res=1 +2*\sum_{i=2}^{n}phi(i)$
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/04/25/7416_f55f92b286-2020-04-25_215904.jpg'></center>
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#### 时间复杂度
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线性筛法求欧拉函数，所以是$O(n)$的。
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### 四、暴力实现
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因为本题数据量并不大，也可以不用筛法，直接暴力$O(n^2)$进行计算每个数字的欧拉函数，也是可以的，但考虑到通用性，还是 <font color='red' size=4><b>建议用筛法求欧拉函数</b></font>。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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// 欧拉函数
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int phi(int x) {
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int res = x;
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for (int i = 2; i * i <= x; i++) // 从2枚举到sqrt(x)
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if (x % i == 0) { // 如果i是x的小因子
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res = res / i * (i - 1);
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while (x % i == 0) x /= i; //
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}
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if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
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return res;
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}
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int main() {
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int n, m;
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cin >> m;
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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cin >> n;
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int res = 1; // x=y 记1个
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for (int j = 1; j <= n; j++) res += phi(j) * 2; // 叠加两倍的欧拉函数值
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printf("%d %d %d\n", i, n, res);
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}
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return 0;
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}
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```
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### 五、筛法实现
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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// 筛法求欧拉函数
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int primes[N], cnt;
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bool st[N];
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int phi[N];
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void euler(int n) {
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phi[1] = 1;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) {
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primes[cnt++] = i;
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phi[i] = i - 1;
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}
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[i * primes[j]] = true;
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if (i % primes[j] == 0) {
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
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break;
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}
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
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}
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}
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}
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int main() {
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// 利用筛法，预处理出欧拉函数值数组
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euler(N - 1); // 这里注意一下是N-1,防止数组越界
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int n, m;
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cin >> m;
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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cin >> n;
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int res = 1; // x=y 记1个
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for (int j = 1; j <= n; j++) res += phi[j] * 2; // 叠加两倍的欧拉函数值
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printf("%d %d %d\n", i, n, res);
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}
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return 0;
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}
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```
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前缀和优化一下：
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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const int N = 1010;
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// 筛法求欧拉函数
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int primes[N], cnt;
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bool st[N];
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int phi[N];
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int s[N];
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void euler(int n) {
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phi[1] = 1;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) {
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primes[cnt++] = i;
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phi[i] = i - 1;
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}
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[i * primes[j]] = true;
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if (i % primes[j] == 0) {
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
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break;
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}
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
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}
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}
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}
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signed main() {
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// 利用筛法，预处理出欧拉函数值数组
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euler(N - 1); // 这里注意一下是N-1,防止数组越界
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// 前缀和优化版本
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for (int i = 1; i < N; i++) s[i] = s[i - 1] + phi[i];
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int n, m;
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cin >> m;
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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cin >> n;
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printf("%d %d %d\n", i, n, s[n] * 2 + 1);
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}
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return 0;
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}
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