2.7 KiB
2.7 KiB
一、题目描述
求 a 乘 b 对 p 取模的值。
输入格式 第一行输入整数$a$，第二行输入整数$b$，第三行输入整数$p$。
输出格式
输出一个整数，表示a*b mod p的值。
数据范围
1≤a,b,p≤10^{18}
输入样例：
3
4
5
输出样例：
2
二、解题思路
long $long$的最大值：9223372036854775807,最多是$19$位。
啊？最多才$19$位,那坏了！因为$a$是最大10^{18},也就是$19$位,如果直接a*a,直接就爆炸了！没机会再取模了！
那咋办？
不能用$a*a$呗！我们可以想办法(a+a)\%p,因为$a+a$不会冒出long $long$上限，然后再通过$(a+a)%p$的值拼装出$a^b$。
$res=a+a$就是两两的算，然后是不是可以用$res$再翻一下翻最终计算出来呢？
这是可以的，因为这就是 二进制 的思想嘛。
先看例子：计算 3^5
\large 3^5=3^4*1+3^2*0+3^1*1
噢，就是把$5$按二进制的思路进行拆分成5=4+1,也就是(101)_2
然后从后往前，看到每一位是数字$1$还是数字0,不管是$1$还是$0$，翻番的$base$要一路跟上，因为本位为$0$就需要base,否则不加$base$。
加完了之后别忘了取模，防止冒了！
有同学可能在思考，那要是$base$在加的过程中冒了怎么办呢？
因为$base$是为了最终的结果$res$而努力累加的，最终算完 $res$再取模，与在计算过程中取模，是符合加法取模规则的，即(a+b)\%p=(a\%p + b\%p)\%p
所以，谁有可能在计算过程中冒了，就把谁取模掉就对了！
三、龟速乘
龟速乘：把能很快完成的乘法，变成二进制分解后的加法，在加的过程中进行取模，可以防止计算过程中的溢出。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a, b, p, res;
int main() {
cin >> a >> b >> p;
// 龟速乘
while (b) {
if (b & 1) res = (res + a) % p;
a = (a + a) % p;
b >>= 1;
}
cout << res << endl;
return 0;
}
四、__$int128$解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
NOIP
CCF 组织的赛事都可以了
__int128取值范围−2^127~2^127−1
__int128只能通过字符形式输入输出
*/
typedef long long LL;
LL a, b, p, res;
int main() {
cin >> a >> b >> p;
cout << (LL)(__int128(a) * (__int128)b % p) << endl;
return 0;
}