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## 快速幂与快速乘
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### 一、快速幂
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现有两个整数$m、n$，求$m^n$ 除以$1000000007$之后的余数。
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**输入**：输入整数$m、n$，用$1$个空格隔开，占$1$行。
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**输出**：输出$m^n$除以$1000000007$之后的余数，占$1$行。
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限制：$1<=m<=100$，$1<=n<=10^9$
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**输入示例**：
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$5$ $8$
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**输出实例**：
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$390625$
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#### 解决算法复杂度问题
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如果用最直接的方法求$x^n$，我们需要进行$n-1$次乘法运算，算法复杂度为$O(n)$。
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快速幂的思想其实是二进制的思想：
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$(21)_{10}=(10101)_2$
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从右到左遍历每一个二进制数位,分两条线进行：
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* 数字$a$每次平方后写入$a$,即$a*=a$
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* 每个数位检查当前二进制数位是否为$1$,如果为$1$,则需要多累乘一个当前的$a$
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```cpp {.line-numbers}
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int qmi(int a, int b){
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int ans = 1;
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while(b){
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if(b&1) ans*= a; //当b为奇数时，乘以余下的一个a
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b >>= 1;//位运算，右移1位，相当于除以2
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a*= a;
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}
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return ans;
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}
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```
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这样，递归函数的参数$n$逐次减半，因此算法复杂度为$O(logn)$。
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这样，递归函数的参数n逐次减半，因此算法复杂度为O(logn)。
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#### 解决取模运算问题
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在遇到 **求某计算结果除以$M$**（本题中是$1000000007$）**之后的余数** 这类题时，可以按下述方法计算（这里$a$除以$b$之后的余数记作$a\%b$）。
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- 计算加法时，每相加一次执行一次$\%M$
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- 计算减法时，给被减数加上$M$之后，先算减法，后算$\%M$
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- 计算乘法时，每相乘一次执行一次$\%M$
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#### 引理$1$：积的取余等于取余的积的取余
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$(a*b)\%M=[(a\%M)*(b\%M)]\%M$
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**证明**：
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设$a$除以$M$的余数和商分别为$ar$、$aq$，
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$b$除以$M$的余数和商分别为$br、bq$，
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即
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$a/M=aq……ar$，
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$b/M=bq……br$，
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则有：
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$a∗b
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=(aq∗M+ar)∗(bq∗M+br)
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=aq∗bq∗M^2
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+ar∗bq∗M+aq∗br∗M+ar∗br
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=(aq∗bq∗M+ar∗bq+aq∗br)∗M+ar∗br$
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即易得：
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$(a*b)\%M=(ar*br) \%M=[(a\%M)*(b\%M)]\%M$
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#### 引理2:幂的取余等于取余的幂再取余
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公式：$a^b\%M=(a\%M)^b\%M$
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**证明**：
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$(a\%M)^b\%M\\= [(a*1)\%M]^b\%M\\=\{[(a\%M)*(1\%M)]\%M\}^b\%M\\=[(a\%M)\%M]^b\%M$
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由上面公式迭代：
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$[(a\%M)^b]\%M=a^b\%M$
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因此，解决了上述两个问题，我们就可以实现 **快速幂** 的算法代码了：
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```cpp {.line-numbers}
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#include <iostream>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const LL mod = 1e9 + 7;
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/*
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测试用例：
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5 8
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结果：
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390625
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*/
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//快速幂
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LL ksm(LL a, LL b) {
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LL ans = 1;
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a %= mod;
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while (b) {
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if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
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b >>= 1; //位运算，右移1位，相当于除以2
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a = (a * a) % mod;
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}
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return ans;
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}
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int main() {
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LL a, b;
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cin >> a >> b;
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printf("%lld\n", ksm(a, b));
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return 0;
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}
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```
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### 二、快速乘
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同理，易得 **快速乘** 的算法：
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快速乘主要用于防止有两个较大的数相乘而直接乘爆, 因为是加法, 怎么都不可能加爆，所以目的就是为了防止爆范围。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <iostream>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const int mod = 1e9 + 7;
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/*
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测试用例:
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10000000 10000000
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答案：
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999300007
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*/
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//快速乘，计算a*b%mod
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LL ksc(LL a, LL b) {
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LL ans = 0;
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a %= mod;
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while (b) {
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if (b & 1) ans = (ans + a) % mod;
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b >>= 1; //位运算，右移1位，相当于除以2
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a = (a + a) % mod;
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}
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return ans;
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}
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int main() {
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LL a, b;
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cin >> a >> b;
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printf("%lld\n", ksc(a, b));
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return 0;
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}
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```
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### 三、总结
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- **快速幂**
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解决$a^b\%mod$
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- **快速乘**
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解决$a*b\%mod$ |