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## 数论 欧拉降幂+费马小定理+指数循环节+幂塔
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**[姊妹文章](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15361630.html)**
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### 一、指数循环节
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**题目大意**：求$2^a\%1000000007$,$1 \leq a \leq 10^{100000}$。
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和队友一直怼 **快速幂**。然后$T$了。后来发现这个余数应该是循环的，我当时认为循环节是$1000000007$。后来才知道发现是$1000000006$。
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让我们来复习一下费马小定理：
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$$\large a^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p) \ gcd(a,p)=1$$
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> **举例子**:
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> 取$p=7，a=3$，$gcd(3,7)=1$,可以使用费马小定理：
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$3^6 ≡ 1 (mod \ 7)$
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这有啥用呢？比如让我们求$3^{128}\%7$的值，我们就可以用：
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$3^{128} \%7=3^{21*6+2}\%7=(3^6)^{21}\%7\times 3^2\%7=\underbrace{3^6\%7\times 3^6\%7\times ...\times 3^6\%7}_{\text{21个}}\times 3^2\%7 =\underbrace{1\times 1\times ...\times 1}_{\text{21个}}\times 3^2\%7 =9 \% 7=2$
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验证：我们可以用微软的$bing$直接输入$3^{128}\%7$就可以得到答案。
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$2$与$1000000007$互质,$2 ^ 0 = 2 ^ {p-1}$ 所以循环节为$p-1=1000000006$。
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$\therefore 2 ^ a \%1000000007 = 2 ^ {a \%1000000006} \%1000000007$。
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当然还可以用 **欧拉降幂**：
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结果不出我所料：$1000000007$的欧拉函数就是$1000000006$。
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> **注**：最后这句肯定是废话了，因为$1000000007$是质数嘛，$\phi(1000000007)$当然是$1000000006$了，这还用说啊~
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### 二、幂塔的计算 (欧拉降幂)
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形如以下式子的东西叫做 **幂塔**：
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$$\large a^{a^{a^{a^...}}}$$
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**题目**
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给定$a,n,m$，计算$a$的$n$层幂塔对$m$取模后的结果。
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$(1<=a,n,m<=1e6)$
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**解法**
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运用欧拉降幂递归求解即可。
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**具体过程**：
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定义的递归函数形式：$f(a,n,m)$，表示$a$的$n$层幂塔对$m$取模后的结果。
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- 首先是对边界情况的判断（递归结束条件）
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- 当$m=1$时，$f(a,n,m)=0$.
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> **解释**：因为任意整数对$1$取模都是$0$，表示任意整数都能被$1$整除，没有留下余数。
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- 当$n<=1$时，$f(a,n,m)=qmi(a,n,m)$.
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> **解释**：$n=1$也就是$1$层，那算就完了
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- 欧拉降幂公式的$3$种情况
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- 当$gcd(a,m)=1$时
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$\large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m)),m)$
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> <font color='red' size=3><b>理解</b></font>：
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$a^b \equiv a^{b \ mod \ φ(m)},gcd(a,m)=1$
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我们看到：$g(a,n)=a^{a^{a^...}}$就是$n$层幂塔,如果把最底下的那个$a$去掉，剩下的就是$n-1$层幂塔，即$b=g(a,n-1)$
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根据降幂公式,在取模的场景下，$b$是可以变形为 $b \mod \ φ(m)$
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即$b=f(a,n-1,φ(m))$
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- 当$gcd(a,m)\neq 1$ 且 $a$的$n−1$层幂塔$ ≥ φ(m)$时
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$\large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m))+φ(m),m)$
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<br>
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- 当$gcd(a,m)\neq 1$ 且 $a$的$n−1$层幂塔$< φ(m)$时
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$\large f(a,n,m)=pow(a,f(a,n−1,φ(m)),m)$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10;
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#define int long long
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#define endl '\n'
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b, int p) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a % p;
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b >>= 1;
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a = a * a % p;
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}
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return res;
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}
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// 求单个数的欧拉函数值
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int phi(int x) {
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int res = x;
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for (int i = 2; i <= x / i; i++)
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if (x % i == 0) {
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res = res / i * (i - 1);
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while (x % i == 0) x /= i;
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}
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if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
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return res;
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}
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// 判断n层幂塔指数是否>=phi
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bool check(int a, int n, int phi) {
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if (n == 0) return phi <= 1; // 0层幂塔是1
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if (a >= phi) return true; // 底数a>=phi，那么它的幂塔一定>=phi
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return check(a, n - 1, log(phi) / log(a)); // 取对数，消去一层，继续判断
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}
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// 计算n层幂塔: a^a^a^a..^a (mod m)
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// 其中共有n个a
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int f(int a, int n, int m) {
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if (m == 1) return 0; // 对1取模，恒为0
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if (n <= 1) return qmi(a, n, m);
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int p = phi(m);
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// 互质
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if (__gcd(a, m) == 1) return qmi(a, f(a, n - 1, p), m);
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// 不互质
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if (check(a, n - 1, p))
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return qmi(a, f(a, n - 1, p) + p, m); // a的指数>=phi
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return qmi(a, f(a, n - 1, p), m); // a的指数<phi, 所以改成对phi取模对答案无影响
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}
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signed main() {
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int T;
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cin >> T;
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while (T--) {
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int a, n, m;
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cin >> a >> n >> m;
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cout << f(a, n, m) << endl;
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}
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}
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