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一、题目描述
给定 n 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。
输入格式
第一行包含整数 $n$。
接下来 n 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。
输出格式
输出共 n 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 x_i,y_i 均可。
数据范围
1≤n≤10^5
1≤a_i,b_i≤2×10^9
输入样例
2
4 6
8 18
输出样例
-1 1
-2 1
样例理解：
2x+3y=1一组可行解：(-1,1)8x+18y=2一组可行解：(-2,1)
二、裴蜀定理
裴蜀定理
若a,$b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么:
-
对于任意的整数
x,$y$,$ax+by$都一定是$d$的倍数 -
一定存在整数
x,$y$，使$ax+by=d$成立
裴蜀定理推论
$a,b$互质 \Leftrightarrow gcd(a,b)=1 \Leftrightarrow 存在整数x,$y$,使得ax+by=1
举栗子
2x+y=3
那么a=2,$b=1$,$m=3$,$gcd(2,1)=1$,$3$是$1$的倍数，所以这个方程一定有整数解。
x=1,$y=1$就是一个整数解，还可以有x=-2,$y=7$也是一组整数解。
注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解
####再举栗子
4x+2y=5
有没有整数解呢？没有，因为$a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5$是除不开$2$的，所以没有整数解!
如何求贝祖数？
什么是贝祖数？
比如：$2x+y=3$，那么符合这个等式的x=1,$y=1$就是一组 贝祖数
可以使用 扩展欧几里得算法求贝祖数
举个栗子：
求 104x+40y=8 ，有没有合适的x,y,也就是求贝祖数
通过贝祖定理看一下，它是不是有解： gcd(104,40)=8,$8$是$8$的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？
扩展欧几里得算法的推导过程：
在$exgcd$中，我们实际是求不定方程$ax+by=gcd(a,b)$，并且，我们所返回的值，是这组解$(x，y)$的最大公因数$gcd(x,y)$。
所以我们最后得到的解，要通过$X=x∗k/gcd(a,b)，Y=(k−a∗x)/gcd(a,b)$来进行一个小小的转换，得到一组解
算法实现过程证明
(1)、当 $b=0$时
$\large ax+by=gcd(a,0)$，也就是:$\large ax=gcd(a,0)=a$,所以$\large x=1$。
那么$y$呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于$0$的第一个可能$y$值就是:$y=0$,所以，可以将$x=1,y=0$做为一组特解返回，也就是返回了一组不小于零的贝祖数。
(2)、当 $b≠0$时
\because ax+by=gcd(a,b) 【原计算式】
gcd(b,a\%b)=gcd(a,b) 【辗转相除法】
\therefore ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b\cdot x_0+(a\%b)\cdot y_0 ① 【变量互换，最终是一致滴~】
\because a\%b=a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b ②【用整除向下取整来描述扣去$a$中所有的b,剩下的就是余数】
将②代入①
\therefore ax+by=bx_0+(a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b)\cdot y_0
\therefore ax+by=ay_0+b(x_0-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot y_0)
\therefore x=y_0,y=x_0-⌊\frac{a}{b}⌋y_0
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
int x, y;
exgcd(a, b, x, y);
printf("%d %d\n", x, y);
}
return 0;
}
四、三者之间的关系
1. 裴蜀定理
-
对于任意一对正整数$a,b$，一定存在非零整数$x,y$使得
ax+by=gcd(a,b) -
可以用来判断方程$ax+by=c$是否有解，只要看$c$是否是$gcd(a,b)$的倍数
2. 扩展欧几里得算法
如果方程$ax+by=c$有解，那么扩欧可以求方程$ax+by=gcd(a,b)$一组解(x_0,y_0)
3.线性同余方程
给定$a,b,m$构造出$x$使得$ax≡b(mod\ m)$成立
$ax≡b(mod\ m)⟺ax=my+b$($y$是整数)
由此可知ax−my=b
令$y'=−y$则有ax+my'=b
则构造$x$一定使得$ax+my'=b$有解
根据裴蜀定理可知该方程有解的充要条件是(a,m)|b
设d=(a,m),若$d∤b$则$x$不存在
若$d|b$，则可以用 扩展欧几里得算法 算出$ax+bm=gcd(a,m)=d$的x_0,y_0
再将$x_0×\frac{b}{d},y_0×\frac{b}{d}$得到$x$与y'