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一、题目描述
给定两个字符串 A 和 $B$，现在要将 A 经过若干操作变为 $B$，可进行的操作有：
- 删除–将字符串
A中的某个字符删除。 - 插入–在字符串
A的某个位置插入某个字符。 - 替换–将字符串
A中的某个字符替换为另一个字符。
现在请你求出，将 A 变为 B 至少需要进行多少次操作。
输入格式
第一行包含整数 $n$，表示字符串 A 的长度。
第二行包含一个长度为 n 的字符串 $A$。
第三行包含整数 $m$，表示字符串 B 的长度。
第四行包含一个长度为 m 的字符串 B。
字符串中均只包含大小写字母。
输出格式 输出一个整数，表示最少操作次数。
数据范围
1≤n,m≤1000
输入样例：
10
AGTCTGACGC
11
AGTAAGTAGGC
输出样例：
4
二、解题思路
与$LCS$（最长公共子序列）问题的状态表示是很接近的。
状态表示
$f[i,j]$：$a[1..i]$变成$b[1..j]$的操作步数。
现在要求的是：两个字符串的最短编辑距离，由于我们不知道最短编辑距离是多少，就希望知道 当前状态是从哪些状态转移过来，前面的状态可以通过 增加、删除、修改转移过来 。
属性
操作数的最小值，$min$。
状态计算
按题意划分为删除，增加，修改,相等四种情况
- 删除：把$a[i]$删掉之后$a[1\sim i]$和$b[1\sim j]$匹配.所以没删除之前，就有$a[1 \sim i-1]$与$b[1 \sim j]$匹配
\large f[i][j]=f[i-1][j] + 1
- 插入：插入之后$a[i]$与$b[j]$完全匹配，所以插入的就是
b[j],那填之前$a[1\sim i]$和$b[1\sim (j-1)]$匹配
\large f[i][j]=f[i][j-1] + 1
- 替换：把$a[i]$改成$b[j]$之后想要$a[1\sim i]$与$b[1\sim j]$匹配,那么修改这一位之前，$a[1\sim (i-1)]$应该与$b[1\sim (j-1)]$匹配
\large f[i][j]=f[i-1][j-1] + 1
- 相等：如果本来$a[i]$与$b[j]$这一位上就相等，那么不用改，即
\large f[i][j]=f[i-1][j-1]
结论
f[i][j] = min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+(a[i] == b[j]?0:1))
初始化
细节问题：初始化怎么搞
先考虑有哪些初始化嘛
-
f[0][i]:如果$a$初始长度就是$0$，那么只能用插入操作让它变成b -
f[i][0]:如果$b$的长度是$0$，那么$a$只能用删除操作让它变成b -
f[i][j]=INF其它初始化为INF
二、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
// 最短编辑距离
int main() {
cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
// 初始化
for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++) {
// 增加和删除
f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
// 修改
if (a[i] == b[j])
f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
else // 相等
f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}