python/TangDou/AcWing_TiGao/T3/MiniPath/1126.md

AcWing 1126. 最小花费

一、题目描述

在 n 个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。

这些人之间转账的手续费各不相同。

给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问 A 最少需要多少钱使得转账后 B 收到 100 元。

输入格式 第一行输入两个正整数 $n,m$，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。

以下 m 行每行输入三个正整数 $x,y,z$，表示标号为 x 的人和标号为 y 的人之间互相转账需要扣除 z\% 的手续费 ( z<100 )。

最后一行输入两个正整数 $A,B$。

数据保证 A 与 B 之间可以直接或间接地转账。

输出格式 输出 A 使得 B 到账 100 元最少需要的总费用。

精确到小数点后 8 位。

数据范围 1≤n≤2000,m≤10^5

输入样例：

3 3
1 2 1
2 3 2
1 3 3
1 3

输出样例：

103.07153164

二、题目解析

假设初始金钱为N,那么如果要在最后一个人的手里得到$100$元，可得公式：

\large N∗(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)=100

\Rightarrow

\large N=\frac{100}{(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)}

要想$N$尽可能小，那么就要让 分母尽可能大 ，即求$(1−z_1%)∗(1−z_2%)∗…∗(1−z_n%)$的最大值。

注意：

	最小值	最大值
优先队列	小根堆	大根堆
实现	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;	priority_queue<PDI> q;
更新的时候用:$d[v] = d[u] * (1 - w[i]%)$。

三、Dijkstra

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010;
const int M = 2e5 + 10;

typedef pair<double, int> PDI; // 堆中数值是浮点数，注意区别

int n, m;
double dis[N];
bool st[N];

int h[N], e[M], ne[M], idx;
double w[M]; // 边权为浮点数,与一般的题目有区别
void add(int a, int b, double c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int S, T;
void dijkstra() {
    priority_queue<PDI> q; // 大顶堆
    dis[S] = 1;
    q.push({1, S});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            double a = 1 - w[i];
            if (dis[v] < dis[u] * a) {
                dis[v] = dis[u] * a;
                q.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        double w = c * 0.01;
        add(a, b, w), add(b, a, w);
    }

    cin >> S >> T;

    dijkstra();
    printf("%.8lf\n", 100 / dis[T]);
    return 0;
}