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##[$AcWing$ $90$. $64$位整数乘法](https://www.acwing.com/problem/content/description/92/)
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### 一、题目描述
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求 $a$ 乘 $b$ 对 $p$ 取模的值。
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**输入格式**
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第一行输入整数$a$，第二行输入整数$b$，第三行输入整数$p$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示`a*b mod p`的值。
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**数据范围**
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$1≤a,b,p≤10^{18}$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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4
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5
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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```
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### 二、解题思路
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$long$ $long$的最大值：`9223372036854775807`,最多是$19$位。
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啊？最多才$19$位,那坏了！因为$a$是最大$10^{18}$,也就是$19$位,如果直接$a*a$,直接就爆炸了！没机会再取模了！
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那咋办？
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不能用$a*a$呗！我们可以想办法$(a+a)\%p$,因为$a+a$不会冒出$long$ $long$上限，然后再通过$(a+a)\%p$的值拼装出$a^b$。
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$res=a+a$就是两两的算，然后是不是可以用$res$再翻一下翻最终计算出来呢？
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这是可以的，因为这就是 **二进制** 的思想嘛。
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先看例子：计算 $3^5$
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$$\large 3^5=3^4*1+3^2*0+3^1*1$$
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噢，就是把$5$按二进制的思路进行拆分成$5=4+1$,也就是$(101)_2$
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然后从后往前，看到每一位是数字$1$还是数字$0$,不管是$1$还是$0$，翻番的$base$要一路跟上，因为本位为$0$就需要$base$,否则不加$base$。
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加完了之后别忘了取模，防止冒了！
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有同学可能在思考，那要是$base$在加的过程中冒了怎么办呢？
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因为$base$是为了最终的结果$res$而努力累加的，最终算完 $res$再取模，与在计算过程中取模，是符合加法取模规则的，即$(a+b)\%p=(a\%p + b\%p)\%p$
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所以，谁有可能在计算过程中冒了，就把谁取模掉就对了！
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### 三、龟速乘
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<font color='red' size=4><b>龟速乘：把能很快完成的乘法，变成二进制分解后的加法，在加的过程中进行取模，可以防止计算过程中的溢出。</b></font>
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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LL a, b, p, res;
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int main() {
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cin >> a >> b >> p;
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// 龟速乘
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while (b) {
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if (b & 1) res = (res + a) % p;
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a = (a + a) % p;
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b >>= 1;
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}
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 四、__$int128$解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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/*
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NOIP
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CCF 组织的赛事都可以了
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__int128取值范围−2^127~2^127−1
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__int128只能通过字符形式输入输出
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*/
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typedef long long LL;
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LL a, b, p, res;
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int main() {
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cin >> a >> b >> p;
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cout << (LL)(__int128(a) * (__int128)b % p) << endl;
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return 0;
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}
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``` |