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### 裴蜀定理(贝祖定理)
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**定理**
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$ax+by=c,x∈Z^+,y∈Z^+$成立的<font color='red'>充要条件</font>是$gcd(a,b)|c$。
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**证明**
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* 充分性
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设$s=gcd(a,b)$，显然$s|a$，并且$s|b$
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因为$x,y∈Z^+$
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所以$s|ax,s|by$
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显然要使得之前的式子成立，则必须满足$c$是$a$和$b$的公约数的倍数。
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* 必要性
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又因为$x$和$y$是正整数
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所以$c$必然是$a,b$最大公约数的倍数。
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因此，证得该定理成立
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说明
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该定理完全可以推广到若干数的线性组合
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例题的话，请看这里：[$Luogu$ $4549$ 裴蜀定理/Min](https://www.luogu.com.cn/problem/P4549) |