3.5 KiB
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一、题目描述
给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 $S$。
现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 $S$，最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
输入格式
第一行包含整数 $k$，表示数字集合 S 中数字的个数。
第二行包含 k 个整数，其中第 i 个整数表示数字集合 S 中的第 i 个数 $s_i$。
第三行包含整数 $n$。
第四行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 $h_i$。
输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。
否则，输出 No。
数据范围
1≤n,k≤100,1≤s_i,h_i≤10000
输入样例：
2
2 5
3
2 4 7
输出样例：
Yes
二、理论知识
理解题意：
集合$S$中有两个数(k=2),分别是$2$和$5$。也就是拿一次不是任意个，是必须$2$或$5$个。
有$3$堆石子，个数分别是$2,4,7$。问我们是先手必胜还是先手必败。
-
$mex$函数
对于集合
S,$mex(S)=mex({x_1,x_2…})$表示$S$中没有出现的最小非负整数。例如:$S={0,1,2,4}$,那么$mex(S)=3$。
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$sg$函数 $sg(n)=mex({sg(i_1),sg(i_2),sg(i_3)...})$。 $n$为结点；$i_1,i_2,i_3$…是$n$的后继结点。
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规定 $sg(G)=sg(head)$。 $G$是一个有向图,$head$是$G$的头结点。
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结论
sg(G1)^sg(G2)^sg(G3)^…^ $sg(Gn)$为$n$个有向图的异或和,对于$n$个有向图游戏,这个异或和就是它的答案。
三、实例解析
$SG$函数是解决博弈论问题的一把利器。
四、$SG$函数复用的原因
五、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, k;
int a[N]; // 一共几种取法，比如一次取2个或5个。
int f[M]; // SG函数的值
int res;
int sg(int x) {
if (~f[x]) return f[x]; // 记忆化搜索
unordered_set<int> S;
for (int i = 0; i < k; i++)
if (x >= a[i]) S.insert(sg(x - a[i])); // x-s[i]:x的可行路径中终点有哪几个; sg(x-s[i]):这个终点它的sg值
for (int i = 0;; i++)
if (!S.count(i)) return f[x] = i;
}
int main() {
memset(f, -1, sizeof f); // 初始化数组值为-1
cin >> k; // 表示数字集合S中数字的个数
for (int i = 0; i < k; i++) cin >> a[i];
cin >> n; // 一共几堆
// n堆石子，每堆石子都取SG值，然后异或在一起
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x;
cin >> x; // 每堆里多少个
res ^= sg(x);
}
if (res)
puts("Yes"); // 如果不是零，必胜
else
puts("No"); // 如果是零，必败
return 0;
}