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##[$AcWing$ $197$. 阶乘分解](https://www.acwing.com/problem/content/description/199/)
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### 一、题目描述
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给定整数 $N$，试把阶乘 $N!$ 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 $p_i$ 和 $c_i$ 即可。
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**输入格式**
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一个整数 $N$。
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**输出格式**
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$N!$ 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 $p_i,c_i$，表示含有 $p_i^{c_i}$ 项。按照 $p_i$ 从小到大的顺序输出。
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**数据范围**
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$3≤N≤10^6$
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**输入样例**：
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`5`
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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2 3
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3 1
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5 1
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```
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**样例解释**
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```cpp {.line-numbers}
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5!=120=2^3∗3∗5
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```
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### 二、方法$1$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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int n;
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bool prime(int x) {
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if (x == 2) return 1;
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for (int i = 2; i * i <= x; i++)
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if (x % i == 0) return 0;
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return 1;
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!prime(i)) continue;
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LL x = i;
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int ans = 0;
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while (x <= n) ans += n / x, x *= i;
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printf("%d %d\n", i, ans);
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}
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return 0;
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}
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```
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### 三、方法$2$
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1. 筛出$1 \sim n$的所有质数
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2. 枚举每个质因子$x$，$n!$表示$1 * 2 * 3... * n$,从$1$到$n$中，求$x$的次数：
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$$cnt(x)= \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^3} \right \rfloor + ...$$
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(直到$x$的次方大于$n$停止)
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举栗子：
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比如$10!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10$里有多少个$2$的倍数,
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$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor = \frac{10}{2}=5$$
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有多少个$4$的倍数
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$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{4}=2$$
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有多少个$8$的倍数
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$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{8}=1$$
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共$5+2+1=8$个，与例子对的上。
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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// 欧拉筛
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const int N = 1e6 + 10;
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int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
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bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
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void get_primes(int n) {
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memset(st, 0, sizeof st);
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cnt = 0;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[primes[j] * i] = true;
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if (i % primes[j] == 0) break;
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}
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}
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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get_primes(n);
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for (int i = 0; i < cnt; i++) {
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int p = primes[i];
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int s = 0;
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// 思路：由大到小+除法降维
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// 优点：不用考虑乘法而导致的爆int上限
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for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
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printf("%d %d\n", p, s);
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}
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return 0;
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}
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``` |