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博弈论入门
古语有云，“笑人情似纸，世事如棋”。生活中每个人如同棋手，其每一个行为如同在一张看不见的棋盘上布子，精明慎重的棋手们相互揣摩、牵制、争赢，下出诸多精彩纷呈、变化多端的棋局。而什么是博弈论？就是研究棋手们的“出棋” 过程，从中抽象出可逻辑化的部分，并将其系统化的一门科学，也是运筹学的一个重要学科。
博弈论的题目有如下特点:
- 博弈模型为两人轮流决策的博弈。并且两人都使用最优策略来取得胜利。
- 两个玩家，都会采取最优的决策，那么如果存在一个局面为必胜局面，某玩家位于此局面。只要自己无失误，则必胜。那么同样又一个局面为必败局面，某玩家位于此局面。只要对手无失误，则必败。
- 那也就是说，针对这样的游戏，我们关注点应该在局面上。
- 博弈是有限的。即无论两人如何决策，都会在有限步决出胜负。
- 博弈是公平的。即两人进行决策的规则相同。
相关概念：
- 先手必胜状态：先手可以从这个状态走到某一个必败状态。
- 先手必败状态：先手走不到任何一个必败状态。
- 也就是说先手必胜状态，那么先手一定能采取某些操作，让后手面对必败态。如果是先手必败态，无论先手怎么操作，都无法让后手面对必败态。
简单博弈的基本题型
1、$bash$博弈 (巴什博奕)
假设一堆石子有$n$个，每次最多取$m$个，甲乙两个玩家轮流取石子，最后把石子取完的人获胜，保证甲乙每一步的决策都是最优的，请问给定$n$和$m$，问甲胜还是乙胜。
解答： 不妨假设刚刚开始 $\large \displaystyle n = m + 1$，那么不管先手取几个，后手必胜，有如下推论：
令 n = (m + 1)*r+s 其中(r > 1，0 <= s < m + 1)
- 如果$s=0$的话，先手每次取$k$个，后手只要取$(m+1-k)$个即可，后手必赢。
- 如果$s>0$的话，先手者第一次取$s$个，后手第一次取$k$个，接下来先手只要取$(m + 1 - k)$个即可，先手必赢。
结论：
$$n \ mod (m+1)
\large \left{\begin{matrix}
=0 & 先手必败 \
≠0 & 先手必胜
\end{matrix}\right. $$
练习题
2、$nim$游戏
假设有$n$堆石子，每堆石子分别有$a_1,a_2,…,a_n$个,每次可以选择任意一堆且至少取$1$枚石子, 甲乙两个玩家轮流取石子, 最后把石子取完的人获胜, 保证甲乙每一步的决策都是最优的, 甲为先手操作, 问甲胜还是乙胜。
结论: $$a_1∧a_2∧…∧a_n = \left{\begin{matrix} =0 & 先手必败 \ \neq 0 & 先手必胜 \end{matrix}\right.
</b></font>
证明：
* 当$a$不全为$0$时, 任意一个$res!=0$的局面, 先手可以通过一定的操作让后手面对$res=0$的局面。
* 对于任意一个$res=0$的局面, 先手无法通过任何操作让后手面对$res=0$的局面。
得出结论, 当$res=0$时先手必败, 反之必胜。
[详细证明](https://i.cnblogs.com/posts/edit-done;postId=15391869)
练习题
[$AcWing$ $891$. $Nim$游戏](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15391869.html)
[$HDU1850$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16403971.html)
[$HDU2176$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16403990.html)
[$HDU1730$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16403933.html)
---
#### 3、$Nim$博弈拓展-台阶$Nim$
**问题描述**: 有一个$n$级台阶的楼梯, 每级台阶上有若干个石子, 其中第$i$级台阶上有$a_i$个石子($i≥1$)。两位玩家路轮流操作, 每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶上(不能不拿)。
已经拿到地面的石子不能再拿, 最后无法进行操作的人视为失败。问如果两人都采取最优策略, 先手是否必胜。
<font color='red' size=5><b>结论
$$res=a_1∧a_3∧a_5∧,…,∧a_n
\large \left\{\begin{matrix}
=0 & 先手必败 \\
\neq 0 & 先手必胜
\end{matrix}\right.
$$ (这里的$n$是奇数)
</b></font>
练习题:
[$AcWing$ $892$ 台阶-$Nim$游戏](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15391920.html)
[$POJ1704$(台阶Nim)](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16404976.html)
[$HDU4315$(台阶Nim)](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4315)
此题太难理解了，暂时没整上,明天继续
#### 4、$Wythoff$博弈(威佐夫博弈)
#### 5、$Fibonacci$博弈
#### 6、$sg$函数
https://www.cnblogs.com/RioTian/p/13032919.html
https://blog.csdn.net/qq_42505741/article/details/84330302
https://blog.csdn.net/bbhhtt/category_7312898.html
https://www.cnblogs.com/zzz-hhh/p/13625295.html
[HDU4764 Stone]