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##[$AcWing$ $1290$. 越狱](https://www.acwing.com/problem/content/1292/)
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### 一、题目描述
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监狱有连续编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。
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有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。
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如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。
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求有多少种状态可能发生越狱。
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**输入格式**
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共一行，包含两个整数 $m$ 和 $n$。
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**输出格式**
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可能越狱的状态数，对 $100003$ 取余。
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**数据范围**
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$1≤m≤10^8$
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$1≤n≤10^{12}$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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2 3
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```
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**输出样例**
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```cpp {.line-numbers}
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6
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```
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**样例解释**
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所有可能的 $6$ 种状态为：$(000)(001)(011)(100)(110)(111)$。
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### 二、解题思路
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本题可以采用容斥原理补集的思想。
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考虑 $n$ 个犯人，$m$种宗教，如何安排不会导致犯罪。
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第一个位置可以有 $m$ 个选择，则与第一个相邻的第二个位置就只有 $m−1$ 中选择。
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考虑第 $i$ 个位置，则为了不和他左侧的 $i−1$ 位置发生冲突，一共有 $m-1$ 种选择。
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因此不会导致犯罪的方案是: $m⋅(m−1)^{n−1}$
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则会导致犯罪的方案是：$m^n−m⋅(m−1)^{n−1}$
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计算一个数字的$n$次方，还要求取模，自然就需要使用快速幂~
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<font color='red'><b>注意</b></font>
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注意减法取模可能会变成负数，那么我们要把他转化正数 $(a - b + mod) \% mod$ 即可
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> 这里解释下：为什么取模+减法会出现负数呢？比如$MOD=10$
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> $a=13,b=5$
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> $ (a\%MOD -b \% MOD) \% MOD=13\%10 - 5 \%10=3-5=-2$
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> 出现负数不是我们想的结果，那就在取模时加上$MOD$就行了
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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const int MOD = 100003;
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int qmi(int a, int b) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a % MOD;
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a = a * a % MOD;
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b >>= 1;
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}
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return res;
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}
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signed main() {
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int m, n;
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cin >> m >> n;
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cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
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return 0;
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}
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``` |