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##[$AcWing$ $198$. 反素数](https://www.acwing.com/problem/content/description/200/)
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### 一、题目描述
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对于任何正整数 $x$，其约数的个数记作 $g(x)$，例如 $g(1)=1、g(6)=4$。
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如果某个正整数 $x$ 满足：对于任意的小于 $x$ 的正整数 $i$，都有 $g(x)>g(i)$，则称 $x$ 为反素数。
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例如，整数 $1，2，4，6$ 等都是反素数。
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现在给定一个数 $N$，请求出不超过 $N$ 的最大的反素数。
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**输入格式**
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一个正整数 $N$。
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**输出格式**
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一个整数，表示不超过 $N$ 的最大反素数。
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**数据范围**
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$1≤N≤2∗10^9$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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1000
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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840
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```
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### 二、解题思路
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#### 1、前置知识
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设$N$的唯一分解式：
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$$N=P_1^{c_1}P_2^{c_2}...P_k^{c_k}$$
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[知识总结](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15214618.html)
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* 约数个数公式
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$d(N)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times ... \times (c_k+1)$
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**举栗子**
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> $180=2^2∗3^2∗5$
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> 约数个数=$(1+2)∗(1+2)∗(1+1)=18$
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* 约数和公式
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$\sigma(n)=({p_1}^{0}+{p_1}^{1}+{p_1}^{2}+...+{p_1}^{c_1})({p_2}^{0}+{p_2}^{1}+{p_2}^{2}+...+{p_2}^{c_2})...({p_k}^{0}+{p_k}^{1}+{p_k}^{2}+...+{p_k}^{c_k})$
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<font color='red'> Sigma（大写Σ，小写σ），是第十八个希腊字母。 </font>
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**举栗子**
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> $180= 2^2 * 3^2 * 5$
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> 约数和$=(1+2+4) * (1+3+9 ) * (1+5)=546$
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#### 2、理解反素数
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说白了，素数之所以称为素数，就是因为约数少，只有$1$和自己。
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**反素数**，也就可以理解为 ：约数多，而且每个数的约数个数，都比小于自己的数字约数个数多。
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#### 3、反素数性质1
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$1\sim N$中最大的 **反素数**,就是 **$1\sim N$中约数个数最多的数中最小的一个**。
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* $g(x)$=约数个数，求最大的反素数，不就是在求哪个数的约数个数最多嘛~
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* 如果不是最小的那一个,必然会出现`g(x)=g(i)`,与反素数的定义就矛盾了~
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#### 4、反素数性质2
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联想约数个数公式：
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$d(N)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times ... \times (c_k+1)$
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一个数的约数个数，不与具体的质数因子相关，只与质数因子的**幂次**相关！
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换言之，由于我们追求**最小**的数字，那么根据 <font color='red'><b>贪心思想</b></font> ，我们知道:质因子越小，幂次越大，才可以保障最终的数字最小！！！
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即$c_1>=c_2>=c_3>=...>=c_k$
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**举个栗子**
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> 假设$t=2^{c_1}×3^5×5^4×7^{c_4}…$
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> 则$c_1>=5>=4>=c_4$，交换$3$和$5$的次数即变成$t=2^{c_1}×3^4×5^5×7^{c_4}…$，这样交换约数个数相同，可$3^4∗5^5 > 3^5∗5^4$，交换后该数变大了
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#### 5、反素数性质3
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* **$1\sim N$中任何数的不同质因子都不会超过$9$个**
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因为$2 \times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29 >2\times 10^9$:
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
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int main() {
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cout << INT_MAX << endl;
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LL s = 1;
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for (int i = 0; i <= 8; i++) s *= primes[i];
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cout << s << endl;
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s = 1;
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for (int i = 0; i <= 9; i++) s *= primes[i];
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cout << s << endl;
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return 0;
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}
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```
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输出结果:
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> 2147483647
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> 223092870
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> 6469693230
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* **所有质因数的指数总和最大不超过$30$**
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因为$2^{31}>2\times 10^9$.
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根据上面一系列性质,我们得出了最简洁的思路,使用$dfs$,尝试确定前九个质数的指数,然后满足指数单调递减,总乘积不超过$N$,且同时记录约数的个数。
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### 三、由小到大枚举
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define endl "\n"
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#define int long long
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const int N = 2e9;
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int n;
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int primes[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}; // 枚举的质数前9位，足够了
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int mc, mx; // 最大反素数的约数个数，最大反素数值
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/*
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u:走到数组primes的第几位
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last:前一个质数，我们取的指数是多少，当前位置取的质数的指数需要小于等于last
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tmx: 当前路线上取得的最大反素数
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tmc: 当前路线上取得的约数个数
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*/
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void dfs(int u, int last, int tmx, int tmc) {
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if (u == 9) { // 走完全程
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// ① 当前路径中约数个数大于最大约数个数，需要替换
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// ② 当前路径中的约数个数等于最大约数个数，但是，当前路径的数值更小，也需要替换
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if (tmc > mc || (tmc == mc && tmx < mx))
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mc = tmc, mx = tmx;
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return;
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}
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for (int i = 0; i <= last; i++) { // 幂次只能是小于等于前一个数的幂次
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int k = pow(primes[u], i);
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if (k * tmx > n) break; // 如果取当前这个素数的i次方，乘到原来的最大值后，大于n，那么此路径不通
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/*
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u+1:下一个素数位置
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i: 当前u这个素数取了i次幂
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tmx*k : 因为取了i次幂，所以，最大值变大了k倍
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tmc*(i+1) : 根据约数个数公式，因为有了质数 primes[u]后，取了i次幂，那么约数和增加(i+1)倍
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*/
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dfs(u + 1, i, tmx * k, tmc * (i + 1));
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}
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}
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signed main() {
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cin >> n;
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dfs(0, 30, 1, 1); // 从最小的质数2出发，最大的幂次不超过30
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// n的最小取值是1，也就是小于等于1的范围内，最小的反素数是1，而且，约数的个数也是1
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cout << mx << endl;
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}
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```
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### 四、经验总结
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在`INT_MAX`范围内，<font color='red'><b>最大的反素数拥有的约数个数是$1600$个</b></font> ，这个是整数范围内约数个数的极限值， <font color='red'><b>需要记住这个值</b></font>，后面的做题当中可以当做常数使用！
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输入$2e9$,输出$1536$。
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输入`INT_MAX`,即$2147483647$,输出$1600$。
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